Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15197 / 14090
↖ ↑ ↗
← N 24.427145°
W 13.040772°		 ← 1 112.29 m → N 24.427145°
W 13.029785°		 →
↑
1 112.31 m
↓
↑
1 112.31 m
↓
N 24.417142°
W 13.040772°		 ← 1 112.38 m →
1 237 261 m²		 N 24.417142°
W 13.029785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463790893554688 y=0.430007934570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463790893554688 × 215)
    floor (0.463790893554688 × 32768)
    floor (15197.5)     		tx = 15197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430007934570312 × 215)
    floor (0.430007934570312 × 32768)
    floor (14090.5)     		ty = 14090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15197 / 14090 ti = "15/15197/14090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15197/14090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15197 ÷ 215
    15197 ÷ 32768     		x = 0.463775634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14090 ÷ 215
    14090 ÷ 32768     		y = 0.42999267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.07244873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22760440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42999267578125 × 2 - 1) × π
    0.1400146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.439868990913635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22760440} λ = -0.22760440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.439868990913635))-π/2
    2×atan(1.55250381308152)-π/2
    2×0.998565219915536-π/2
    1.99713043983107-1.57079632675     		φ = 0.42633411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22760440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.040772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42633411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.427145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15197 KachelY 14090 -0.22760440 0.42633411 -13.040772 24.427145
    Oben rechts KachelX + 1 15198 KachelY 14090 -0.22741265 0.42633411 -13.029785 24.427145
    Unten links KachelX 15197 KachelY + 1 14091 -0.22760440 0.42615952 -13.040772 24.417142
    Unten rechts KachelX + 1 15198 KachelY + 1 14091 -0.22741265 0.42615952 -13.029785 24.417142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42633411-0.42615952) × R
    0.000174589999999974 × 6371000     		dl = 1112.31288999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42633411-0.42615952) × R
    0.000174589999999974 × 6371000     		dr = 1112.31288999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22760440--0.22741265) × cos(0.42633411) × R
    0.000191750000000018 × 0.910487841083286 × 6371000     		do = 1112.28768331521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22760440--0.22741265) × cos(0.42615952) × R
    0.000191750000000018 × 0.910560026428689 × 6371000     		du = 1112.37586776643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42633411)-sin(0.42615952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910487841083286-0.910560026428689)×R²
    abs(-0.22741265--0.22760440)×7.21853454028754e-05×R²
    0.000191750000000018×7.21853454028754e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.21853454028754e-05×40589641000000     		ar = 1237260.97503345m²