Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15196 / 6611
↖ ↑ ↗
← N 72.544615°
W 13.051758°		 ← 366.45 m → N 72.544615°
W 13.040772°		 →
↑
366.46 m
↓
↑
366.46 m
↓
N 72.541319°
W 13.051758°		 ← 366.51 m →
134 300 m²		 N 72.541319°
W 13.040772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463760375976562 y=0.201766967773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463760375976562 × 215)
    floor (0.463760375976562 × 32768)
    floor (15196.5)     		tx = 15196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201766967773438 × 215)
    floor (0.201766967773438 × 32768)
    floor (6611.5)     		ty = 6611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15196 / 6611 ti = "15/15196/6611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15196/6611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15196 ÷ 215
    15196 ÷ 32768     		x = 0.4637451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6611 ÷ 215
    6611 ÷ 32768     		y = 0.201751708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4637451171875 × 2 - 1) × π
    -0.072509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22779615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201751708984375 × 2 - 1) × π
    0.59649658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.87394927994724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22779615} λ = -0.22779615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87394927994724))-π/2
    2×atan(6.51397116319289)-π/2
    2×1.41846935420894-π/2
    2.83693870841787-1.57079632675     		φ = 1.26614238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22779615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.051758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26614238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.544615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15196 KachelY 6611 -0.22779615 1.26614238 -13.051758 72.544615
    Oben rechts KachelX + 1 15197 KachelY 6611 -0.22760440 1.26614238 -13.040772 72.544615
    Unten links KachelX 15196 KachelY + 1 6612 -0.22779615 1.26608486 -13.051758 72.541319
    Unten rechts KachelX + 1 15197 KachelY + 1 6612 -0.22760440 1.26608486 -13.040772 72.541319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26614238-1.26608486) × R
    5.75199999999221e-05 × 6371000     		dl = 366.459919999504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26614238-1.26608486) × R
    5.75199999999221e-05 × 6371000     		dr = 366.459919999504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22779615--0.22760440) × cos(1.26614238) × R
    0.000191749999999991 × 0.299963075440258 × 6371000     		do = 366.446666508512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22779615--0.22760440) × cos(1.26608486) × R
    0.000191749999999991 × 0.300017946194763 × 6371000     		du = 366.513698775892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26614238)-sin(1.26608486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299963075440258-0.300017946194763)×R²
    abs(-0.22760440--0.22779615)×5.48707545043881e-05×R²
    0.000191749999999991×5.48707545043881e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.48707545043881e-05×40589641000000     		ar = 134300.298449511m²