Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15195 / 20905
↖ ↑ ↗
← S 44.410241°
W 13.062744°		 ← 872.63 m → S 44.410241°
W 13.051758°		 →
↑
872.57 m
↓
↑
872.57 m
↓
S 44.418088°
W 13.062744°		 ← 872.51 m →
761 381 m²		 S 44.418088°
W 13.051758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463729858398438 y=0.637985229492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463729858398438 × 215)
    floor (0.463729858398438 × 32768)
    floor (15195.5)     		tx = 15195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637985229492188 × 215)
    floor (0.637985229492188 × 32768)
    floor (20905.5)     		ty = 20905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15195 / 20905 ti = "15/15195/20905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15195/20905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15195 ÷ 215
    15195 ÷ 32768     		x = 0.463714599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20905 ÷ 215
    20905 ÷ 32768     		y = 0.637969970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463714599609375 × 2 - 1) × π
    -0.07257080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22798789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637969970703125 × 2 - 1) × π
    -0.27593994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.866890892729095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22798789} λ = -0.22798789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866890892729095))-π/2
    2×atan(0.42025614156338)-π/2
    2×0.397845705002098-π/2
    0.795691410004196-1.57079632675     		φ = -0.77510492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22798789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.062744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77510492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.410241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15195 KachelY 20905 -0.22798789 -0.77510492 -13.062744 -44.410241
    Oben rechts KachelX + 1 15196 KachelY 20905 -0.22779615 -0.77510492 -13.051758 -44.410241
    Unten links KachelX 15195 KachelY + 1 20906 -0.22798789 -0.77524188 -13.062744 -44.418088
    Unten rechts KachelX + 1 15196 KachelY + 1 20906 -0.22779615 -0.77524188 -13.051758 -44.418088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77510492--0.77524188) × R
    0.000136960000000075 × 6371000     		dl = 872.572160000477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77510492--0.77524188) × R
    0.000136960000000075 × 6371000     		dr = 872.572160000477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22798789--0.22779615) × cos(-0.77510492) × R
    0.000191739999999996 × 0.714347615913194 × 6371000     		do = 872.629574656853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22798789--0.22779615) × cos(-0.77524188) × R
    0.000191739999999996 × 0.714251765834342 × 6371000     		du = 872.51248654502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77510492)-sin(-0.77524188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714347615913194-0.714251765834342)×R²
    abs(-0.22779615--0.22798789)×9.58500788518224e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58500788518224e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58500788518224e-05×40589641000000     		ar = 761381.190115236m²