Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15194 / 8150
↖ ↑ ↗
← N 66.696478°
W 13.073730°		 ← 483.28 m → N 66.696478°
W 13.062744°		 →
↑
483.30 m
↓
↑
483.30 m
↓
N 66.692132°
W 13.073730°		 ← 483.37 m →
233 593 m²		 N 66.692132°
W 13.062744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463699340820312 y=0.248733520507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463699340820312 × 215)
    floor (0.463699340820312 × 32768)
    floor (15194.5)     		tx = 15194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248733520507812 × 215)
    floor (0.248733520507812 × 32768)
    floor (8150.5)     		ty = 8150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15194 / 8150 ti = "15/15194/8150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15194/8150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15194 ÷ 215
    15194 ÷ 32768     		x = 0.46368408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8150 ÷ 215
    8150 ÷ 32768     		y = 0.24871826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.0726318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22817964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24871826171875 × 2 - 1) × π
    0.5025634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.57884972588617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22817964} λ = -0.22817964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57884972588617))-π/2
    2×atan(4.84937449188296)-π/2
    2×1.36743473209238-π/2
    2.73486946418477-1.57079632675     		φ = 1.16407314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22817964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.073730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16407314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.696478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15194 KachelY 8150 -0.22817964 1.16407314 -13.073730 66.696478
    Oben rechts KachelX + 1 15195 KachelY 8150 -0.22798789 1.16407314 -13.062744 66.696478
    Unten links KachelX 15194 KachelY + 1 8151 -0.22817964 1.16399728 -13.073730 66.692132
    Unten rechts KachelX + 1 15195 KachelY + 1 8151 -0.22798789 1.16399728 -13.062744 66.692132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16407314-1.16399728) × R
    7.58599999999277e-05 × 6371000     		dl = 483.304059999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16407314-1.16399728) × R
    7.58599999999277e-05 × 6371000     		dr = 483.304059999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22817964--0.22798789) × cos(1.16407314) × R
    0.000191749999999991 × 0.39560195970679 × 6371000     		do = 483.282881354709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22817964--0.22798789) × cos(1.16399728) × R
    0.000191749999999991 × 0.395671630066281 × 6371000     		du = 483.367993400425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16407314)-sin(1.16399728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39560195970679-0.395671630066281)×R²
    abs(-0.22798789--0.22817964)×6.96703594907921e-05×R²
    0.000191749999999991×6.96703594907921e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.96703594907921e-05×40589641000000     		ar = 233593.146297631m²