Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15194 / 8148
↖ ↑ ↗
← N 66.705169°
W 13.073730°		 ← 483.11 m → N 66.705169°
W 13.062744°		 →
↑
483.11 m
↓
↑
483.11 m
↓
N 66.700824°
W 13.073730°		 ← 483.20 m →
233 419 m²		 N 66.700824°
W 13.062744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463699340820312 y=0.248672485351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463699340820312 × 215)
    floor (0.463699340820312 × 32768)
    floor (15194.5)     		tx = 15194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248672485351562 × 215)
    floor (0.248672485351562 × 32768)
    floor (8148.5)     		ty = 8148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15194 / 8148 ti = "15/15194/8148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15194/8148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15194 ÷ 215
    15194 ÷ 32768     		x = 0.46368408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8148 ÷ 215
    8148 ÷ 32768     		y = 0.2486572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.0726318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22817964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2486572265625 × 2 - 1) × π
    0.502685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.57923322108313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22817964} λ = -0.22817964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57923322108313))-π/2
    2×atan(4.85123456034973)-π/2
    2×1.36751057446126-π/2
    2.73502114892252-1.57079632675     		φ = 1.16422482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22817964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.073730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16422482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.705169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15194 KachelY 8148 -0.22817964 1.16422482 -13.073730 66.705169
    Oben rechts KachelX + 1 15195 KachelY 8148 -0.22798789 1.16422482 -13.062744 66.705169
    Unten links KachelX 15194 KachelY + 1 8149 -0.22817964 1.16414899 -13.073730 66.700824
    Unten rechts KachelX + 1 15195 KachelY + 1 8149 -0.22798789 1.16414899 -13.062744 66.700824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16422482-1.16414899) × R
    7.583000000011e-05 × 6371000     		dl = 483.112930000701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16422482-1.16414899) × R
    7.583000000011e-05 × 6371000     		dr = 483.112930000701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22817964--0.22798789) × cos(1.16422482) × R
    0.000191749999999991 × 0.395462648897733 × 6371000     		do = 483.112693802416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22817964--0.22798789) × cos(1.16414899) × R
    0.000191749999999991 × 0.395532296255234 × 6371000     		du = 483.197777747998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16422482)-sin(1.16414899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395462648897733-0.395532296255234)×R²
    abs(-0.22798789--0.22817964)×6.96473575005352e-05×R²
    0.000191749999999991×6.96473575005352e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.96473575005352e-05×40589641000000     		ar = 233418.541712002m²