Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15194 / 20906
↖ ↑ ↗
← S 44.418088°
W 13.073730°		 ← 872.56 m → S 44.418088°
W 13.062744°		 →
↑
872.51 m
↓
↑
872.51 m
↓
S 44.425934°
W 13.073730°		 ← 872.44 m →
761 263 m²		 S 44.425934°
W 13.062744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463699340820312 y=0.638015747070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463699340820312 × 215)
    floor (0.463699340820312 × 32768)
    floor (15194.5)     		tx = 15194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638015747070312 × 215)
    floor (0.638015747070312 × 32768)
    floor (20906.5)     		ty = 20906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15194 / 20906 ti = "15/15194/20906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15194/20906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15194 ÷ 215
    15194 ÷ 32768     		x = 0.46368408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20906 ÷ 215
    20906 ÷ 32768     		y = 0.63800048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.0726318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22817964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63800048828125 × 2 - 1) × π
    -0.2760009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.867082640327576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22817964} λ = -0.22817964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.867082640327576))-π/2
    2×atan(0.420175566182804)-π/2
    2×0.397777222376895-π/2
    0.795554444753789-1.57079632675     		φ = -0.77524188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22817964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.073730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77524188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.418088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15194 KachelY 20906 -0.22817964 -0.77524188 -13.073730 -44.418088
    Oben rechts KachelX + 1 15195 KachelY 20906 -0.22798789 -0.77524188 -13.062744 -44.418088
    Unten links KachelX 15194 KachelY + 1 20907 -0.22817964 -0.77537883 -13.073730 -44.425934
    Unten rechts KachelX + 1 15195 KachelY + 1 20907 -0.22798789 -0.77537883 -13.062744 -44.425934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77524188--0.77537883) × R
    0.000136949999999914 × 6371000     		dl = 872.508449999449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77524188--0.77537883) × R
    0.000136949999999914 × 6371000     		dr = 872.508449999449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22817964--0.22798789) × cos(-0.77524188) × R
    0.000191749999999991 × 0.714251765834342 × 6371000     		do = 872.557991524998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22817964--0.22798789) × cos(-0.77537883) × R
    0.000191749999999991 × 0.714155909357393 × 6371000     		du = 872.44088949039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77524188)-sin(-0.77537883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714251765834342-0.714155909357393)×R²
    abs(-0.22798789--0.22817964)×9.58564769492076e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58564769492076e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58564769492076e-05×40589641000000     		ar = 761263.135652345m²