Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15194 / 14094
↖ ↑ ↗
← N 24.387128°
W 13.073730°		 ← 1 112.64 m → N 24.387128°
W 13.062744°		 →
↑
1 112.70 m
↓
↑
1 112.70 m
↓
N 24.377121°
W 13.073730°		 ← 1 112.73 m →
1 238 078 m²		 N 24.377121°
W 13.062744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463699340820312 y=0.430130004882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463699340820312 × 215)
    floor (0.463699340820312 × 32768)
    floor (15194.5)     		tx = 15194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430130004882812 × 215)
    floor (0.430130004882812 × 32768)
    floor (14094.5)     		ty = 14094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15194 / 14094 ti = "15/15194/14094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15194/14094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15194 ÷ 215
    15194 ÷ 32768     		x = 0.46368408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14094 ÷ 215
    14094 ÷ 32768     		y = 0.43011474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.0726318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22817964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43011474609375 × 2 - 1) × π
    0.1397705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.439102000519714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22817964} λ = -0.22817964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.439102000519714))-π/2
    2×atan(1.55131351410265)-π/2
    2×0.998215996850445-π/2
    1.99643199370089-1.57079632675     		φ = 0.42563567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22817964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.073730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42563567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.387128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15194 KachelY 14094 -0.22817964 0.42563567 -13.073730 24.387128
    Oben rechts KachelX + 1 15195 KachelY 14094 -0.22798789 0.42563567 -13.062744 24.387128
    Unten links KachelX 15194 KachelY + 1 14095 -0.22817964 0.42546102 -13.073730 24.377121
    Unten rechts KachelX + 1 15195 KachelY + 1 14095 -0.22798789 0.42546102 -13.062744 24.377121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42563567-0.42546102) × R
    0.000174649999999998 × 6371000     		dl = 1112.69514999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42563567-0.42546102) × R
    0.000174649999999998 × 6371000     		dr = 1112.69514999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22817964--0.22798789) × cos(0.42563567) × R
    0.000191749999999991 × 0.910776448955758 × 6371000     		do = 1112.64025801992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22817964--0.22798789) × cos(0.42546102) × R
    0.000191749999999991 × 0.910848548018138 × 6371000     		du = 1112.72833706441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42563567)-sin(0.42546102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910776448955758-0.910848548018138)×R²
    abs(-0.22798789--0.22817964)×7.20990623803708e-05×R²
    0.000191749999999991×7.20990623803708e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.20990623803708e-05×40589641000000     		ar = 1238078.42450342m²