Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15193 / 8149
↖ ↑ ↗
← N 66.700824°
W 13.084717°		 ← 483.20 m → N 66.700824°
W 13.073730°		 →
↑
483.24 m
↓
↑
483.24 m
↓
N 66.696478°
W 13.084717°		 ← 483.28 m →
233 521 m²		 N 66.696478°
W 13.073730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463668823242188 y=0.248703002929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463668823242188 × 215)
    floor (0.463668823242188 × 32768)
    floor (15193.5)     		tx = 15193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248703002929688 × 215)
    floor (0.248703002929688 × 32768)
    floor (8149.5)     		ty = 8149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15193 / 8149 ti = "15/15193/8149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15193/8149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15193 ÷ 215
    15193 ÷ 32768     		x = 0.463653564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8149 ÷ 215
    8149 ÷ 32768     		y = 0.248687744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463653564453125 × 2 - 1) × π
    -0.07269287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22837139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248687744140625 × 2 - 1) × π
    0.50262451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.57904147348465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22837139} λ = -0.22837139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57904147348465))-π/2
    2×atan(4.85030443695043)-π/2
    2×1.36747265661599-π/2
    2.73494531323198-1.57079632675     		φ = 1.16414899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22837139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.084717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16414899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.700824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15193 KachelY 8149 -0.22837139 1.16414899 -13.084717 66.700824
    Oben rechts KachelX + 1 15194 KachelY 8149 -0.22817964 1.16414899 -13.073730 66.700824
    Unten links KachelX 15193 KachelY + 1 8150 -0.22837139 1.16407314 -13.084717 66.696478
    Unten rechts KachelX + 1 15194 KachelY + 1 8150 -0.22817964 1.16407314 -13.073730 66.696478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16414899-1.16407314) × R
    7.58499999999884e-05 × 6371000     		dl = 483.240349999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16414899-1.16407314) × R
    7.58499999999884e-05 × 6371000     		dr = 483.240349999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22837139--0.22817964) × cos(1.16414899) × R
    0.000191750000000018 × 0.395532296255234 × 6371000     		do = 483.197777748068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22837139--0.22817964) × cos(1.16407314) × R
    0.000191750000000018 × 0.39560195970679 × 6371000     		du = 483.282881354779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16414899)-sin(1.16407314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395532296255234-0.39560195970679)×R²
    abs(-0.22817964--0.22837139)×6.96634515563455e-05×R²
    0.000191750000000018×6.96634515563455e-05×6371000²
    0.000191750000000018×6.96634515563455e-05×40589641000000     		ar = 233521.226098365m²