Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15193 / 20902
↖ ↑ ↗
← S 44.386691°
W 13.084717°		 ← 873.03 m → S 44.386691°
W 13.073730°		 →
↑
872.95 m
↓
↑
872.95 m
↓
S 44.394542°
W 13.084717°		 ← 872.91 m →
762 061 m²		 S 44.394542°
W 13.073730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463668823242188 y=0.637893676757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463668823242188 × 215)
    floor (0.463668823242188 × 32768)
    floor (15193.5)     		tx = 15193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637893676757812 × 215)
    floor (0.637893676757812 × 32768)
    floor (20902.5)     		ty = 20902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15193 / 20902 ti = "15/15193/20902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15193/20902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15193 ÷ 215
    15193 ÷ 32768     		x = 0.463653564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20902 ÷ 215
    20902 ÷ 32768     		y = 0.63787841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463653564453125 × 2 - 1) × π
    -0.07269287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22837139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63787841796875 × 2 - 1) × π
    -0.2757568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.866315649933655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22837139} λ = -0.22837139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866315649933655))-π/2
    2×atan(0.420497960426665)-π/2
    2×0.398051208016525-π/2
    0.796102416033051-1.57079632675     		φ = -0.77469391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22837139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.084717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77469391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.386691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15193 KachelY 20902 -0.22837139 -0.77469391 -13.084717 -44.386691
    Oben rechts KachelX + 1 15194 KachelY 20902 -0.22817964 -0.77469391 -13.073730 -44.386691
    Unten links KachelX 15193 KachelY + 1 20903 -0.22837139 -0.77483093 -13.084717 -44.394542
    Unten rechts KachelX + 1 15194 KachelY + 1 20903 -0.22817964 -0.77483093 -13.073730 -44.394542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77469391--0.77483093) × R
    0.000137020000000043 × 6371000     		dl = 872.954420000275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77469391--0.77483093) × R
    0.000137020000000043 × 6371000     		dr = 872.954420000275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22837139--0.22817964) × cos(-0.77469391) × R
    0.000191750000000018 × 0.714635176678648 × 6371000     		do = 873.026381261404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22837139--0.22817964) × cos(-0.77483093) × R
    0.000191750000000018 × 0.714539324841484 × 6371000     		du = 872.90928489494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77469391)-sin(-0.77483093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714635176678648-0.714539324841484)×R²
    abs(-0.22817964--0.22837139)×9.5851837164429e-05×R²
    0.000191750000000018×9.5851837164429e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.5851837164429e-05×40589641000000     		ar = 762061.129596159m²