Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15193 / 10155
↖ ↑ ↗
← N 56.298253°
W 13.084717°		 ← 677.85 m → N 56.298253°
W 13.073730°		 →
↑
677.87 m
↓
↑
677.87 m
↓
N 56.292157°
W 13.084717°		 ← 677.96 m →
459 534 m²		 N 56.292157°
W 13.073730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463668823242188 y=0.309921264648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463668823242188 × 215)
    floor (0.463668823242188 × 32768)
    floor (15193.5)     		tx = 15193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309921264648438 × 215)
    floor (0.309921264648438 × 32768)
    floor (10155.5)     		ty = 10155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15193 / 10155 ti = "15/15193/10155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15193/10155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15193 ÷ 215
    15193 ÷ 32768     		x = 0.463653564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10155 ÷ 215
    10155 ÷ 32768     		y = 0.309906005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463653564453125 × 2 - 1) × π
    -0.07269287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22837139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309906005859375 × 2 - 1) × π
    0.38018798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19439579093332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22837139} λ = -0.22837139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19439579093332))-π/2
    2×atan(3.3015623338356)-π/2
    2×1.27669310370779-π/2
    2.55338620741558-1.57079632675     		φ = 0.98258988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22837139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.084717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98258988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.298253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15193 KachelY 10155 -0.22837139 0.98258988 -13.084717 56.298253
    Oben rechts KachelX + 1 15194 KachelY 10155 -0.22817964 0.98258988 -13.073730 56.298253
    Unten links KachelX 15193 KachelY + 1 10156 -0.22837139 0.98248348 -13.084717 56.292157
    Unten rechts KachelX + 1 15194 KachelY + 1 10156 -0.22817964 0.98248348 -13.073730 56.292157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98258988-0.98248348) × R
    0.000106400000000062 × 6371000     		dl = 677.874400000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98258988-0.98248348) × R
    0.000106400000000062 × 6371000     		dr = 677.874400000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22837139--0.22817964) × cos(0.98258988) × R
    0.000191750000000018 × 0.554869792533523 × 6371000     		do = 677.850717198373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22837139--0.22817964) × cos(0.98248348) × R
    0.000191750000000018 × 0.554958307511156 × 6371000     		du = 677.958850569263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98258988)-sin(0.98248348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554869792533523-0.554958307511156)×R²
    abs(-0.22817964--0.22837139)×8.85149776329586e-05×R²
    0.000191750000000018×8.85149776329586e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.85149776329586e-05×40589641000000     		ar = 459534.299066481m²