Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15193 / 10058
↖ ↑ ↗
← N 56.885002°
W 13.084717°		 ← 667.41 m → N 56.885002°
W 13.073730°		 →
↑
667.49 m
↓
↑
667.49 m
↓
N 56.878999°
W 13.084717°		 ← 667.51 m →
445 523 m²		 N 56.878999°
W 13.073730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463668823242188 y=0.306961059570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463668823242188 × 215)
    floor (0.463668823242188 × 32768)
    floor (15193.5)     		tx = 15193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306961059570312 × 215)
    floor (0.306961059570312 × 32768)
    floor (10058.5)     		ty = 10058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15193 / 10058 ti = "15/15193/10058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15193/10058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15193 ÷ 215
    15193 ÷ 32768     		x = 0.463653564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10058 ÷ 215
    10058 ÷ 32768     		y = 0.30694580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463653564453125 × 2 - 1) × π
    -0.07269287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22837139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30694580078125 × 2 - 1) × π
    0.3861083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.2129953079859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22837139} λ = -0.22837139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2129953079859))-π/2
    2×atan(3.3635444304547)-π/2
    2×1.28181345090009-π/2
    2.56362690180019-1.57079632675     		φ = 0.99283058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22837139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.084717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99283058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.885002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15193 KachelY 10058 -0.22837139 0.99283058 -13.084717 56.885002
    Oben rechts KachelX + 1 15194 KachelY 10058 -0.22817964 0.99283058 -13.073730 56.885002
    Unten links KachelX 15193 KachelY + 1 10059 -0.22837139 0.99272581 -13.084717 56.878999
    Unten rechts KachelX + 1 15194 KachelY + 1 10059 -0.22817964 0.99272581 -13.073730 56.878999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99283058-0.99272581) × R
    0.000104769999999976 × 6371000     		dl = 667.489669999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99283058-0.99272581) × R
    0.000104769999999976 × 6371000     		dr = 667.489669999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22837139--0.22817964) × cos(0.99283058) × R
    0.000191750000000018 × 0.546321227226779 × 6371000     		do = 667.407454288466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22837139--0.22817964) × cos(0.99272581) × R
    0.000191750000000018 × 0.54640897703826 × 6371000     		du = 667.51465290235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99283058)-sin(0.99272581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546321227226779-0.54640897703826)×R²
    abs(-0.22817964--0.22837139)×8.77498114804087e-05×R²
    0.000191750000000018×8.77498114804087e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.77498114804087e-05×40589641000000     		ar = 445523.35880941m²