Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15191 / 8479
↖ ↑ ↗
← N 65.224498°
W 13.106689°		 ← 511.92 m → N 65.224498°
W 13.095703°		 →
↑
511.97 m
↓
↑
511.97 m
↓
N 65.219894°
W 13.106689°		 ← 512.01 m →
262 111 m²		 N 65.219894°
W 13.095703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463607788085938 y=0.258773803710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463607788085938 × 215)
    floor (0.463607788085938 × 32768)
    floor (15191.5)     		tx = 15191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258773803710938 × 215)
    floor (0.258773803710938 × 32768)
    floor (8479.5)     		ty = 8479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15191 / 8479 ti = "15/15191/8479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15191/8479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15191 ÷ 215
    15191 ÷ 32768     		x = 0.463592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8479 ÷ 215
    8479 ÷ 32768     		y = 0.258758544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463592529296875 × 2 - 1) × π
    -0.07281494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22875488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258758544921875 × 2 - 1) × π
    0.48248291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51576476598618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22875488} λ = -0.22875488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51576476598618))-π/2
    2×atan(4.55290170012263)-π/2
    2×1.35458928762765-π/2
    2.7091785752553-1.57079632675     		φ = 1.13838225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22875488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.106689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13838225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.224498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15191 KachelY 8479 -0.22875488 1.13838225 -13.106689 65.224498
    Oben rechts KachelX + 1 15192 KachelY 8479 -0.22856314 1.13838225 -13.095703 65.224498
    Unten links KachelX 15191 KachelY + 1 8480 -0.22875488 1.13830189 -13.106689 65.219894
    Unten rechts KachelX + 1 15192 KachelY + 1 8480 -0.22856314 1.13830189 -13.095703 65.219894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13838225-1.13830189) × R
    8.03600000001126e-05 × 6371000     		dl = 511.973560000717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13838225-1.13830189) × R
    8.03600000001126e-05 × 6371000     		dr = 511.973560000717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22875488--0.22856314) × cos(1.13838225) × R
    0.000191739999999996 × 0.419063898709218 × 6371000     		do = 511.918208360207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22875488--0.22856314) × cos(1.13830189) × R
    0.000191739999999996 × 0.419136860759979 × 6371000     		du = 512.007337016765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13838225)-sin(1.13830189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419063898709218-0.419136860759979)×R²
    abs(-0.22856314--0.22875488)×7.29620507609607e-05×R²
    0.000191739999999996×7.29620507609607e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.29620507609607e-05×40589641000000     		ar = 262111.403461934m²