Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15191 / 6615
↖ ↑ ↗
← N 72.531428°
W 13.106689°		 ← 366.70 m → N 72.531428°
W 13.095703°		 →
↑
366.78 m
↓
↑
366.78 m
↓
N 72.528129°
W 13.106689°		 ← 366.76 m →
134 508 m²		 N 72.528129°
W 13.095703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463607788085938 y=0.201889038085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463607788085938 × 215)
    floor (0.463607788085938 × 32768)
    floor (15191.5)     		tx = 15191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201889038085938 × 215)
    floor (0.201889038085938 × 32768)
    floor (6615.5)     		ty = 6615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15191 / 6615 ti = "15/15191/6615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15191/6615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15191 ÷ 215
    15191 ÷ 32768     		x = 0.463592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6615 ÷ 215
    6615 ÷ 32768     		y = 0.201873779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463592529296875 × 2 - 1) × π
    -0.07281494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22875488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201873779296875 × 2 - 1) × π
    0.59625244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.87318228955331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22875488} λ = -0.22875488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87318228955331))-π/2
    2×atan(6.50897692539548)-π/2
    2×1.41835427771791-π/2
    2.83670855543582-1.57079632675     		φ = 1.26591223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22875488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.106689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26591223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.531428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15191 KachelY 6615 -0.22875488 1.26591223 -13.106689 72.531428
    Oben rechts KachelX + 1 15192 KachelY 6615 -0.22856314 1.26591223 -13.095703 72.531428
    Unten links KachelX 15191 KachelY + 1 6616 -0.22875488 1.26585466 -13.106689 72.528129
    Unten rechts KachelX + 1 15192 KachelY + 1 6616 -0.22856314 1.26585466 -13.095703 72.528129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26591223-1.26585466) × R
    5.75700000000623e-05 × 6371000     		dl = 366.778470000397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26591223-1.26585466) × R
    5.75700000000623e-05 × 6371000     		dr = 366.778470000397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22875488--0.22856314) × cos(1.26591223) × R
    0.000191739999999996 × 0.300182619273526 × 6371000     		do = 366.695745237664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22875488--0.22856314) × cos(1.26585466) × R
    0.000191739999999996 × 0.300237533748458 × 6371000     		du = 366.762827417033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26591223)-sin(1.26585466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300182619273526-0.300237533748458)×R²
    abs(-0.22856314--0.22875488)×5.49144749323327e-05×R²
    0.000191739999999996×5.49144749323327e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.49144749323327e-05×40589641000000     		ar = 134508.406580653m²