Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15190 / 6624
↖ ↑ ↗
← N 72.501722°
W 13.117676°		 ← 367.32 m → N 72.501722°
W 13.106689°		 →
↑
367.35 m
↓
↑
367.35 m
↓
N 72.498419°
W 13.117676°		 ← 367.39 m →
134 948 m²		 N 72.498419°
W 13.106689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463577270507812 y=0.202163696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463577270507812 × 215)
    floor (0.463577270507812 × 32768)
    floor (15190.5)     		tx = 15190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202163696289062 × 215)
    floor (0.202163696289062 × 32768)
    floor (6624.5)     		ty = 6624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15190 / 6624 ti = "15/15190/6624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15190/6624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15190 ÷ 215
    15190 ÷ 32768     		x = 0.46356201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6624 ÷ 215
    6624 ÷ 32768     		y = 0.2021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46356201171875 × 2 - 1) × π
    -0.0728759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22894663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2021484375 × 2 - 1) × π
    0.595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.87145656116699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22894663} λ = -0.22894663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87145656116699))-π/2
    2×atan(6.49775388589365)-π/2
    2×1.4180950475887-π/2
    2.8361900951774-1.57079632675     		φ = 1.26539377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22894663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.117676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26539377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.501722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15190 KachelY 6624 -0.22894663 1.26539377 -13.117676 72.501722
    Oben rechts KachelX + 1 15191 KachelY 6624 -0.22875488 1.26539377 -13.106689 72.501722
    Unten links KachelX 15190 KachelY + 1 6625 -0.22894663 1.26533611 -13.117676 72.498419
    Unten rechts KachelX + 1 15191 KachelY + 1 6625 -0.22875488 1.26533611 -13.106689 72.498419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26539377-1.26533611) × R
    5.76599999999594e-05 × 6371000     		dl = 367.351859999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26539377-1.26533611) × R
    5.76599999999594e-05 × 6371000     		dr = 367.351859999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22894663--0.22875488) × cos(1.26539377) × R
    0.000191750000000018 × 0.300677128439388 × 6371000     		do = 367.318981678883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22894663--0.22875488) × cos(1.26533611) × R
    0.000191750000000018 × 0.300732119780127 × 6371000     		du = 367.386161259139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26539377)-sin(1.26533611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300677128439388-0.300732119780127)×R²
    abs(-0.22875488--0.22894663)×5.49913407389968e-05×R²
    0.000191750000000018×5.49913407389968e-05×6371000²
    0.000191750000000018×5.49913407389968e-05×40589641000000     		ar = 134947.650442204m²