Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15190 / 10558
↖ ↑ ↗
← N 76.437180°
W 96.558838°		 ← 143.24 m → N 76.437180°
W 96.553345°		 →
↑
143.28 m
↓
↑
143.28 m
↓
N 76.435892°
W 96.558838°		 ← 143.25 m →
20 524 m²		 N 76.435892°
W 96.553345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.231788635253906 y=0.161109924316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.231788635253906 × 216)
    floor (0.231788635253906 × 65536)
    floor (15190.5)     		tx = 15190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161109924316406 × 216)
    floor (0.161109924316406 × 65536)
    floor (10558.5)     		ty = 10558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15190 / 10558 ti = "16/15190/10558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15190/10558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15190 ÷ 216
    15190 ÷ 65536     		x = 0.231781005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10558 ÷ 216
    10558 ÷ 65536     		y = 0.161102294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.231781005859375 × 2 - 1) × π
    -0.53643798828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.68526964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161102294921875 × 2 - 1) × π
    0.67779541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.12935708112289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68526964} λ = -1.68526964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12935708112289))-π/2
    2×atan(8.40945847346631)-π/2
    2×1.45243839647361-π/2
    2.90487679294721-1.57079632675     		φ = 1.33408047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68526964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.558838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33408047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.437180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15190 KachelY 10558 -1.68526964 1.33408047 -96.558838 76.437180
    Oben rechts KachelX + 1 15191 KachelY 10558 -1.68517377 1.33408047 -96.553345 76.437180
    Unten links KachelX 15190 KachelY + 1 10559 -1.68526964 1.33405798 -96.558838 76.435892
    Unten rechts KachelX + 1 15191 KachelY + 1 10559 -1.68517377 1.33405798 -96.553345 76.435892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33408047-1.33405798) × R
    2.24899999998751e-05 × 6371000     		dl = 143.283789999204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33408047-1.33405798) × R
    2.24899999998751e-05 × 6371000     		dr = 143.283789999204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68526964--1.68517377) × cos(1.33408047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.234511337270361 × 6371000     		do = 143.236656731079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68526964--1.68517377) × cos(1.33405798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.234533200041073 × 6371000     		du = 143.250010244048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33408047)-sin(1.33405798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234511337270361-0.234533200041073)×R²
    abs(-1.68517377--1.68526964)×2.18627707117558e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.18627707117558e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.18627707117558e-05×40589641000000     		ar = 20524.4477153152m²