Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15190 / 10142
↖ ↑ ↗
← N 56.377419°
W 13.117676°		 ← 676.45 m → N 56.377419°
W 13.106689°		 →
↑
676.47 m
↓
↑
676.47 m
↓
N 56.371335°
W 13.117676°		 ← 676.55 m →
457 634 m²		 N 56.371335°
W 13.106689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463577270507812 y=0.309524536132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463577270507812 × 215)
    floor (0.463577270507812 × 32768)
    floor (15190.5)     		tx = 15190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309524536132812 × 215)
    floor (0.309524536132812 × 32768)
    floor (10142.5)     		ty = 10142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15190 / 10142 ti = "15/15190/10142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15190/10142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15190 ÷ 215
    15190 ÷ 32768     		x = 0.46356201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10142 ÷ 215
    10142 ÷ 32768     		y = 0.30950927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46356201171875 × 2 - 1) × π
    -0.0728759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22894663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30950927734375 × 2 - 1) × π
    0.3809814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19688850971356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22894663} λ = -0.22894663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19688850971356))-π/2
    2×atan(3.30980246616883)-π/2
    2×1.27738395407788-π/2
    2.55476790815576-1.57079632675     		φ = 0.98397158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22894663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.117676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98397158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.377419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15190 KachelY 10142 -0.22894663 0.98397158 -13.117676 56.377419
    Oben rechts KachelX + 1 15191 KachelY 10142 -0.22875488 0.98397158 -13.106689 56.377419
    Unten links KachelX 15190 KachelY + 1 10143 -0.22894663 0.98386540 -13.117676 56.371335
    Unten rechts KachelX + 1 15191 KachelY + 1 10143 -0.22875488 0.98386540 -13.106689 56.371335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98397158-0.98386540) × R
    0.000106179999999956 × 6371000     		dl = 676.472779999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98397158-0.98386540) × R
    0.000106179999999956 × 6371000     		dr = 676.472779999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22894663--0.22875488) × cos(0.98397158) × R
    0.000191750000000018 × 0.553719775613438 × 6371000     		do = 676.445811390633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22894663--0.22875488) × cos(0.98386540) × R
    0.000191750000000018 × 0.553808188904339 × 6371000     		du = 676.553820537019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98397158)-sin(0.98386540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553719775613438-0.553808188904339)×R²
    abs(-0.22875488--0.22894663)×8.84132909005908e-05×R²
    0.000191750000000018×8.84132909005908e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.84132909005908e-05×40589641000000     		ar = 457633.71160452m²