Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15189 / 6645
↖ ↑ ↗
← N 72.432219°
W 13.128662°		 ← 368.73 m → N 72.432219°
W 13.117676°		 →
↑
368.75 m
↓
↑
368.75 m
↓
N 72.428902°
W 13.128662°		 ← 368.80 m →
135 984 m²		 N 72.428902°
W 13.117676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463546752929688 y=0.202804565429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463546752929688 × 215)
    floor (0.463546752929688 × 32768)
    floor (15189.5)     		tx = 15189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202804565429688 × 215)
    floor (0.202804565429688 × 32768)
    floor (6645.5)     		ty = 6645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15189 / 6645 ti = "15/15189/6645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15189/6645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15189 ÷ 215
    15189 ÷ 32768     		x = 0.463531494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6645 ÷ 215
    6645 ÷ 32768     		y = 0.202789306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463531494140625 × 2 - 1) × π
    -0.07293701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22913838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.202789306640625 × 2 - 1) × π
    0.59442138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.86742986159891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22913838} λ = -0.22913838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86742986159891))-π/2
    2×atan(6.47164199078836)-π/2
    2×1.41748851559472-π/2
    2.83497703118944-1.57079632675     		φ = 1.26418070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22913838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.128662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26418070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.432219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15189 KachelY 6645 -0.22913838 1.26418070 -13.128662 72.432219
    Oben rechts KachelX + 1 15190 KachelY 6645 -0.22894663 1.26418070 -13.117676 72.432219
    Unten links KachelX 15189 KachelY + 1 6646 -0.22913838 1.26412282 -13.128662 72.428902
    Unten rechts KachelX + 1 15190 KachelY + 1 6646 -0.22894663 1.26412282 -13.117676 72.428902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26418070-1.26412282) × R
    5.78799999999546e-05 × 6371000     		dl = 368.753479999711m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26418070-1.26412282) × R
    5.78799999999546e-05 × 6371000     		dr = 368.753479999711m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22913838--0.22894663) × cos(1.26418070) × R
    0.000191749999999991 × 0.301833843313599 × 6371000     		do = 368.732069970224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22913838--0.22894663) × cos(1.26412282) × R
    0.000191749999999991 × 0.301889023316395 × 6371000     		du = 368.799480027456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26418070)-sin(1.26412282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301833843313599-0.301889023316395)×R²
    abs(-0.22894663--0.22913838)×5.51800027966398e-05×R²
    0.000191749999999991×5.51800027966398e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.51800027966398e-05×40589641000000     		ar = 135983.662873091m²