Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15189 / 6625
↖ ↑ ↗
← N 72.498419°
W 13.128662°		 ← 367.39 m → N 72.498419°
W 13.117676°		 →
↑
367.42 m
↓
↑
367.42 m
↓
N 72.495115°
W 13.128662°		 ← 367.45 m →
134 996 m²		 N 72.495115°
W 13.117676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463546752929688 y=0.202194213867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463546752929688 × 215)
    floor (0.463546752929688 × 32768)
    floor (15189.5)     		tx = 15189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202194213867188 × 215)
    floor (0.202194213867188 × 32768)
    floor (6625.5)     		ty = 6625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15189 / 6625 ti = "15/15189/6625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15189/6625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15189 ÷ 215
    15189 ÷ 32768     		x = 0.463531494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6625 ÷ 215
    6625 ÷ 32768     		y = 0.202178955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463531494140625 × 2 - 1) × π
    -0.07293701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22913838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.202178955078125 × 2 - 1) × π
    0.59564208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.87126481356851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22913838} λ = -0.22913838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87126481356851))-π/2
    2×atan(6.4965080766348)-π/2
    2×1.41806621789389-π/2
    2.83613243578778-1.57079632675     		φ = 1.26533611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22913838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.128662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26533611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.498419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15189 KachelY 6625 -0.22913838 1.26533611 -13.128662 72.498419
    Oben rechts KachelX + 1 15190 KachelY 6625 -0.22894663 1.26533611 -13.117676 72.498419
    Unten links KachelX 15189 KachelY + 1 6626 -0.22913838 1.26527844 -13.128662 72.495115
    Unten rechts KachelX + 1 15190 KachelY + 1 6626 -0.22894663 1.26527844 -13.117676 72.495115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26533611-1.26527844) × R
    5.76700000001207e-05 × 6371000     		dl = 367.415570000769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26533611-1.26527844) × R
    5.76700000001207e-05 × 6371000     		dr = 367.415570000769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22913838--0.22894663) × cos(1.26533611) × R
    0.000191749999999991 × 0.300732119780127 × 6371000     		do = 367.386161259086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22913838--0.22894663) × cos(1.26527844) × R
    0.000191749999999991 × 0.300787119657942 × 6371000     		du = 367.453351268571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26533611)-sin(1.26527844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300732119780127-0.300787119657942)×R²
    abs(-0.22894663--0.22913838)×5.4999877815487e-05×R²
    0.000191749999999991×5.4999877815487e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.4999877815487e-05×40589641000000     		ar = 134995.739214321m²