Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15188 / 6644
↖ ↑ ↗
← N 72.435535°
W 13.139649°		 ← 368.66 m → N 72.435535°
W 13.128662°		 →
↑
368.75 m
↓
↑
368.75 m
↓
N 72.432219°
W 13.139649°		 ← 368.73 m →
135 959 m²		 N 72.432219°
W 13.128662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463516235351562 y=0.202774047851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463516235351562 × 215)
    floor (0.463516235351562 × 32768)
    floor (15188.5)     		tx = 15188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202774047851562 × 215)
    floor (0.202774047851562 × 32768)
    floor (6644.5)     		ty = 6644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15188 / 6644 ti = "15/15188/6644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15188/6644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15188 ÷ 215
    15188 ÷ 32768     		x = 0.4635009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6644 ÷ 215
    6644 ÷ 32768     		y = 0.2027587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4635009765625 × 2 - 1) × π
    -0.072998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22933013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2027587890625 × 2 - 1) × π
    0.594482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.86762160919739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22933013} λ = -0.22933013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86762160919739))-π/2
    2×atan(6.47288303157781)-π/2
    2×1.41751745090677-π/2
    2.83503490181353-1.57079632675     		φ = 1.26423858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22933013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.139649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26423858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.435535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15188 KachelY 6644 -0.22933013 1.26423858 -13.139649 72.435535
    Oben rechts KachelX + 1 15189 KachelY 6644 -0.22913838 1.26423858 -13.128662 72.435535
    Unten links KachelX 15188 KachelY + 1 6645 -0.22933013 1.26418070 -13.139649 72.432219
    Unten rechts KachelX + 1 15189 KachelY + 1 6645 -0.22913838 1.26418070 -13.128662 72.432219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26423858-1.26418070) × R
    5.78799999999546e-05 × 6371000     		dl = 368.753479999711m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26423858-1.26418070) × R
    5.78799999999546e-05 × 6371000     		dr = 368.753479999711m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22933013--0.22913838) × cos(1.26423858) × R
    0.000191749999999991 × 0.30177866229963 × 6371000     		do = 368.664658677705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22933013--0.22913838) × cos(1.26418070) × R
    0.000191749999999991 × 0.301833843313599 × 6371000     		du = 368.732069970224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26423858)-sin(1.26418070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30177866229963-0.301833843313599)×R²
    abs(-0.22913838--0.22933013)×5.51810139685638e-05×R²
    0.000191749999999991×5.51810139685638e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.51810139685638e-05×40589641000000     		ar = 135958.80495279m²