Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15188 / 20898
↖ ↑ ↗
← S 44.355278°
W 13.139649°		 ← 873.49 m → S 44.355278°
W 13.128662°		 →
↑
873.40 m
↓
↑
873.40 m
↓
S 44.363133°
W 13.139649°		 ← 873.38 m →
762 860 m²		 S 44.363133°
W 13.128662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463516235351562 y=0.637771606445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463516235351562 × 215)
    floor (0.463516235351562 × 32768)
    floor (15188.5)     		tx = 15188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637771606445312 × 215)
    floor (0.637771606445312 × 32768)
    floor (20898.5)     		ty = 20898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15188 / 20898 ti = "15/15188/20898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15188/20898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15188 ÷ 215
    15188 ÷ 32768     		x = 0.4635009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20898 ÷ 215
    20898 ÷ 32768     		y = 0.63775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4635009765625 × 2 - 1) × π
    -0.072998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22933013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.2755126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.865548659539734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22933013} λ = -0.22933013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865548659539734))-π/2
    2×atan(0.420820602038668)-π/2
    2×0.398325340691006-π/2
    0.796650681382012-1.57079632675     		φ = -0.77414565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22933013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.139649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77414565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.355278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15188 KachelY 20898 -0.22933013 -0.77414565 -13.139649 -44.355278
    Oben rechts KachelX + 1 15189 KachelY 20898 -0.22913838 -0.77414565 -13.128662 -44.355278
    Unten links KachelX 15188 KachelY + 1 20899 -0.22933013 -0.77428274 -13.139649 -44.363133
    Unten rechts KachelX + 1 15189 KachelY + 1 20899 -0.22913838 -0.77428274 -13.128662 -44.363133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77414565--0.77428274) × R
    0.000137089999999951 × 6371000     		dl = 873.400389999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77414565--0.77428274) × R
    0.000137089999999951 × 6371000     		dr = 873.400389999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22933013--0.22913838) × cos(-0.77414565) × R
    0.000191749999999991 × 0.715018575679266 × 6371000     		do = 873.494756528843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22933013--0.22913838) × cos(-0.77428274) × R
    0.000191749999999991 × 0.714922728593905 × 6371000     		du = 873.377665967369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77414565)-sin(-0.77428274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715018575679266-0.714922728593905)×R²
    abs(-0.22913838--0.22933013)×9.58470853603677e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58470853603677e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58470853603677e-05×40589641000000     		ar = 762859.528739186m²