Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15188 / 10151
↖ ↑ ↗
← N 56.322629°
W 13.139649°		 ← 677.42 m → N 56.322629°
W 13.128662°		 →
↑
677.43 m
↓
↑
677.43 m
↓
N 56.316537°
W 13.139649°		 ← 677.53 m →
458 939 m²		 N 56.316537°
W 13.128662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463516235351562 y=0.309799194335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463516235351562 × 215)
    floor (0.463516235351562 × 32768)
    floor (15188.5)     		tx = 15188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309799194335938 × 215)
    floor (0.309799194335938 × 32768)
    floor (10151.5)     		ty = 10151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15188 / 10151 ti = "15/15188/10151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15188/10151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15188 ÷ 215
    15188 ÷ 32768     		x = 0.4635009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10151 ÷ 215
    10151 ÷ 32768     		y = 0.309783935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4635009765625 × 2 - 1) × π
    -0.072998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22933013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309783935546875 × 2 - 1) × π
    0.38043212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19516278132724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22933013} λ = -0.22933013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19516278132724))-π/2
    2×atan(3.30409557179098)-π/2
    2×1.27690582572666-π/2
    2.55381165145332-1.57079632675     		φ = 0.98301532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22933013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.139649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98301532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.322629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15188 KachelY 10151 -0.22933013 0.98301532 -13.139649 56.322629
    Oben rechts KachelX + 1 15189 KachelY 10151 -0.22913838 0.98301532 -13.128662 56.322629
    Unten links KachelX 15188 KachelY + 1 10152 -0.22933013 0.98290899 -13.139649 56.316537
    Unten rechts KachelX + 1 15189 KachelY + 1 10152 -0.22913838 0.98290899 -13.128662 56.316537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98301532-0.98290899) × R
    0.000106330000000043 × 6371000     		dl = 677.428430000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98301532-0.98290899) × R
    0.000106330000000043 × 6371000     		dr = 677.428430000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22933013--0.22913838) × cos(0.98301532) × R
    0.000191749999999991 × 0.554515802964144 × 6371000     		do = 677.418269646231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22933013--0.22913838) × cos(0.98290899) × R
    0.000191749999999991 × 0.554604284804963 × 6371000     		du = 677.526362535888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98301532)-sin(0.98290899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554515802964144-0.554604284804963)×R²
    abs(-0.22913838--0.22933013)×8.84818408193322e-05×R²
    0.000191749999999991×8.84818408193322e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.84818408193322e-05×40589641000000     		ar = 458939.00789082m²