Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15187 / 14539
↖ ↑ ↗
← N 70.239032°
W 96.575317°		 ← 206.51 m → N 70.239032°
W 96.569824°		 →
↑
206.48 m
↓
↑
206.48 m
↓
N 70.237176°
W 96.575317°		 ← 206.52 m →
42 642 m²		 N 70.237176°
W 96.569824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.231742858886719 y=0.221855163574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.231742858886719 × 216)
    floor (0.231742858886719 × 65536)
    floor (15187.5)     		tx = 15187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221855163574219 × 216)
    floor (0.221855163574219 × 65536)
    floor (14539.5)     		ty = 14539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15187 / 14539 ti = "16/15187/14539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15187/14539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15187 ÷ 216
    15187 ÷ 65536     		x = 0.231735229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14539 ÷ 216
    14539 ÷ 65536     		y = 0.221847534179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.231735229492188 × 2 - 1) × π
    -0.536529541015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.68555726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221847534179688 × 2 - 1) × π
    0.556304931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74768348634801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68555726} λ = -1.68555726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74768348634801))-π/2
    2×atan(5.74128748870592)-π/2
    2×1.39834935539036-π/2
    2.79669871078072-1.57079632675     		φ = 1.22590238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68555726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.575317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22590238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.239032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15187 KachelY 14539 -1.68555726 1.22590238 -96.575317 70.239032
    Oben rechts KachelX + 1 15188 KachelY 14539 -1.68546139 1.22590238 -96.569824 70.239032
    Unten links KachelX 15187 KachelY + 1 14540 -1.68555726 1.22586997 -96.575317 70.237176
    Unten rechts KachelX + 1 15188 KachelY + 1 14540 -1.68546139 1.22586997 -96.569824 70.237176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22590238-1.22586997) × R
    3.24099999999827e-05 × 6371000     		dl = 206.48410999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22590238-1.22586997) × R
    3.24099999999827e-05 × 6371000     		dr = 206.48410999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68555726--1.68546139) × cos(1.22590238) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338096871278089 × 6371000     		do = 206.505434051916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68555726--1.68546139) × cos(1.22586997) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338127372518205 × 6371000     		du = 206.524063836349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22590238)-sin(1.22586997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338096871278089-0.338127372518205)×R²
    abs(-1.68546139--1.68555726)×3.05012401165539e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05012401165539e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05012401165539e-05×40589641000000     		ar = 42642.0141412179m²