Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15187 / 10209
↖ ↑ ↗
← N 55.967650°
W 13.150635°		 ← 683.70 m → N 55.967650°
W 13.139649°		 →
↑
683.74 m
↓
↑
683.74 m
↓
N 55.961501°
W 13.150635°		 ← 683.81 m →
467 510 m²		 N 55.961501°
W 13.139649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463485717773438 y=0.311569213867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463485717773438 × 215)
    floor (0.463485717773438 × 32768)
    floor (15187.5)     		tx = 15187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311569213867188 × 215)
    floor (0.311569213867188 × 32768)
    floor (10209.5)     		ty = 10209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15187 / 10209 ti = "15/15187/10209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15187/10209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15187 ÷ 215
    15187 ÷ 32768     		x = 0.463470458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10209 ÷ 215
    10209 ÷ 32768     		y = 0.311553955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463470458984375 × 2 - 1) × π
    -0.07305908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22952188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311553955078125 × 2 - 1) × π
    0.37689208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18404142061539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22952188} λ = -0.22952188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18404142061539))-π/2
    2×atan(3.2675531107006)-π/2
    2×1.27380804759706-π/2
    2.54761609519411-1.57079632675     		φ = 0.97681977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22952188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.150635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97681977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.967650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15187 KachelY 10209 -0.22952188 0.97681977 -13.150635 55.967650
    Oben rechts KachelX + 1 15188 KachelY 10209 -0.22933013 0.97681977 -13.139649 55.967650
    Unten links KachelX 15187 KachelY + 1 10210 -0.22952188 0.97671245 -13.150635 55.961501
    Unten rechts KachelX + 1 15188 KachelY + 1 10210 -0.22933013 0.97671245 -13.139649 55.961501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97681977-0.97671245) × R
    0.000107320000000022 × 6371000     		dl = 683.735720000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97681977-0.97671245) × R
    0.000107320000000022 × 6371000     		dr = 683.735720000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22952188--0.22933013) × cos(0.97681977) × R
    0.000191750000000018 × 0.559660898144255 × 6371000     		do = 683.703719863339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22952188--0.22933013) × cos(0.97671245) × R
    0.000191750000000018 × 0.55974983333545 × 6371000     		du = 683.812366583609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97681977)-sin(0.97671245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559660898144255-0.55974983333545)×R²
    abs(-0.22933013--0.22952188)×8.89351911946834e-05×R²
    0.000191750000000018×8.89351911946834e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.89351911946834e-05×40589641000000     		ar = 467509.798437803m²