Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15185 / 10543
↖ ↑ ↗
← N 76.456490°
W 96.586304°		 ← 143.04 m → N 76.456490°
W 96.580811°		 →
↑
143.03 m
↓
↑
143.03 m
↓
N 76.455203°
W 96.586304°		 ← 143.05 m →
20 459 m²		 N 76.455203°
W 96.580811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.231712341308594 y=0.160881042480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.231712341308594 × 216)
    floor (0.231712341308594 × 65536)
    floor (15185.5)     		tx = 15185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160881042480469 × 216)
    floor (0.160881042480469 × 65536)
    floor (10543.5)     		ty = 10543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15185 / 10543 ti = "16/15185/10543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15185/10543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15185 ÷ 216
    15185 ÷ 65536     		x = 0.231704711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10543 ÷ 216
    10543 ÷ 65536     		y = 0.160873413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.231704711914062 × 2 - 1) × π
    -0.536590576171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.68574901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160873413085938 × 2 - 1) × π
    0.678253173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.1307951881115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68574901} λ = -1.68574901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1307951881115))-π/2
    2×atan(8.42156087465542)-π/2
    2×1.45260690485456-π/2
    2.90521380970912-1.57079632675     		φ = 1.33441748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68574901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.586304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33441748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.456490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15185 KachelY 10543 -1.68574901 1.33441748 -96.586304 76.456490
    Oben rechts KachelX + 1 15186 KachelY 10543 -1.68565314 1.33441748 -96.580811 76.456490
    Unten links KachelX 15185 KachelY + 1 10544 -1.68574901 1.33439503 -96.586304 76.455203
    Unten rechts KachelX + 1 15186 KachelY + 1 10544 -1.68565314 1.33439503 -96.580811 76.455203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33441748-1.33439503) × R
    2.24499999998962e-05 × 6371000     		dl = 143.028949999338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33441748-1.33439503) × R
    2.24499999998962e-05 × 6371000     		dr = 143.028949999338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68574901--1.68565314) × cos(1.33441748) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.23418371202739 × 6371000     		do = 143.036547239528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68574901--1.68565314) × cos(1.33439503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.234205537686903 × 6371000     		du = 143.049878085431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33441748)-sin(1.33439503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23418371202739-0.234205537686903)×R²
    abs(-1.68565314--1.68574901)×2.18256595137245e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.18256595137245e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.18256595137245e-05×40589641000000     		ar = 20459.3205125089m²