Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15184 / 8368
↖ ↑ ↗
← N 65.730626°
W 13.183594°		 ← 502.13 m → N 65.730626°
W 13.172607°		 →
↑
502.16 m
↓
↑
502.16 m
↓
N 65.726110°
W 13.183594°		 ← 502.21 m →
252 171 m²		 N 65.726110°
W 13.172607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463394165039062 y=0.255386352539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463394165039062 × 215)
    floor (0.463394165039062 × 32768)
    floor (15184.5)     		tx = 15184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255386352539062 × 215)
    floor (0.255386352539062 × 32768)
    floor (8368.5)     		ty = 8368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15184 / 8368 ti = "15/15184/8368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15184/8368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15184 ÷ 215
    15184 ÷ 32768     		x = 0.46337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8368 ÷ 215
    8368 ÷ 32768     		y = 0.25537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23009712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25537109375 × 2 - 1) × π
    0.4892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.53704874941748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23009712} λ = -0.23009712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53704874941748))-π/2
    2×atan(4.65084419027524)-π/2
    2×1.35900608924011-π/2
    2.71801217848023-1.57079632675     		φ = 1.14721585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23009712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.183594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14721585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.730626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15184 KachelY 8368 -0.23009712 1.14721585 -13.183594 65.730626
    Oben rechts KachelX + 1 15185 KachelY 8368 -0.22990537 1.14721585 -13.172607 65.730626
    Unten links KachelX 15184 KachelY + 1 8369 -0.23009712 1.14713703 -13.183594 65.726110
    Unten rechts KachelX + 1 15185 KachelY + 1 8369 -0.22990537 1.14713703 -13.172607 65.726110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14721585-1.14713703) × R
    7.8820000000146e-05 × 6371000     		dl = 502.16222000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14721585-1.14713703) × R
    7.8820000000146e-05 × 6371000     		dr = 502.16222000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23009712--0.22990537) × cos(1.14721585) × R
    0.000191749999999991 × 0.411027126132944 × 6371000     		do = 502.12687009868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23009712--0.22990537) × cos(1.14713703) × R
    0.000191749999999991 × 0.411098978989926 × 6371000     		du = 502.214648368994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14721585)-sin(1.14713703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411027126132944-0.411098978989926)×R²
    abs(-0.22990537--0.23009712)×7.18528569820798e-05×R²
    0.000191749999999991×7.18528569820798e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.18528569820798e-05×40589641000000     		ar = 252171.183407095m²