Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15184 / 6610
↖ ↑ ↗
← N 72.547910°
W 13.183594°		 ← 366.38 m → N 72.547910°
W 13.172607°		 →
↑
366.40 m
↓
↑
366.40 m
↓
N 72.544615°
W 13.183594°		 ← 366.45 m →
134 252 m²		 N 72.544615°
W 13.172607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463394165039062 y=0.201736450195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463394165039062 × 215)
    floor (0.463394165039062 × 32768)
    floor (15184.5)     		tx = 15184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201736450195312 × 215)
    floor (0.201736450195312 × 32768)
    floor (6610.5)     		ty = 6610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15184 / 6610 ti = "15/15184/6610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15184/6610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15184 ÷ 215
    15184 ÷ 32768     		x = 0.46337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6610 ÷ 215
    6610 ÷ 32768     		y = 0.20172119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23009712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20172119140625 × 2 - 1) × π
    0.5965576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.87414102754572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23009712} λ = -0.23009712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87414102754572))-π/2
    2×atan(6.51522032127771)-π/2
    2×1.41849811017838-π/2
    2.83699622035675-1.57079632675     		φ = 1.26619989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23009712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.183594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26619989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.547910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15184 KachelY 6610 -0.23009712 1.26619989 -13.183594 72.547910
    Oben rechts KachelX + 1 15185 KachelY 6610 -0.22990537 1.26619989 -13.172607 72.547910
    Unten links KachelX 15184 KachelY + 1 6611 -0.23009712 1.26614238 -13.183594 72.544615
    Unten rechts KachelX + 1 15185 KachelY + 1 6611 -0.22990537 1.26614238 -13.172607 72.544615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26619989-1.26614238) × R
    5.75099999999829e-05 × 6371000     		dl = 366.396209999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26619989-1.26614238) × R
    5.75099999999829e-05 × 6371000     		dr = 366.396209999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23009712--0.22990537) × cos(1.26619989) × R
    0.000191749999999991 × 0.299908213232991 × 6371000     		do = 366.379644682774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23009712--0.22990537) × cos(1.26614238) × R
    0.000191749999999991 × 0.299963075440258 × 6371000     		du = 366.446666508512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26619989)-sin(1.26614238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299908213232991-0.299963075440258)×R²
    abs(-0.22990537--0.23009712)×5.48622072667482e-05×R²
    0.000191749999999991×5.48622072667482e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.48622072667482e-05×40589641000000     		ar = 134252.391541436m²