Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15184 / 10544
↖ ↑ ↗
← N 76.455203°
W 96.591797°		 ← 143.06 m → N 76.455203°
W 96.586304°		 →
↑
143.09 m
↓
↑
143.09 m
↓
N 76.453917°
W 96.591797°		 ← 143.08 m →
20 472 m²		 N 76.453917°
W 96.586304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.231697082519531 y=0.160896301269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.231697082519531 × 216)
    floor (0.231697082519531 × 65536)
    floor (15184.5)     		tx = 15184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160896301269531 × 216)
    floor (0.160896301269531 × 65536)
    floor (10544.5)     		ty = 10544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15184 / 10544 ti = "16/15184/10544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15184/10544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15184 ÷ 216
    15184 ÷ 65536     		x = 0.231689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10544 ÷ 216
    10544 ÷ 65536     		y = 0.160888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.231689453125 × 2 - 1) × π
    -0.53662109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.68584489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160888671875 × 2 - 1) × π
    0.67822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.13069931431226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68584489} λ = -1.68584489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13069931431226))-π/2
    2×atan(8.42075350632218)-π/2
    2×1.45259567829041-π/2
    2.90519135658082-1.57079632675     		φ = 1.33439503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68584489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.591797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33439503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.455203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15184 KachelY 10544 -1.68584489 1.33439503 -96.591797 76.455203
    Oben rechts KachelX + 1 15185 KachelY 10544 -1.68574901 1.33439503 -96.586304 76.455203
    Unten links KachelX 15184 KachelY + 1 10545 -1.68584489 1.33437257 -96.591797 76.453917
    Unten rechts KachelX + 1 15185 KachelY + 1 10545 -1.68574901 1.33437257 -96.586304 76.453917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33439503-1.33437257) × R
    2.24600000000574e-05 × 6371000     		dl = 143.092660000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33439503-1.33437257) × R
    2.24600000000574e-05 × 6371000     		dr = 143.092660000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68584489--1.68574901) × cos(1.33439503) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.234205537686903 × 6371000     		do = 143.064799320147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68584489--1.68574901) × cos(1.33437257) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.234227372950195 × 6371000     		du = 143.078137423045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33439503)-sin(1.33437257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234205537686903-0.234227372950195)×R²
    abs(-1.68574901--1.68584489)×2.18352632921637e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.18352632921637e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.18352632921637e-05×40589641000000     		ar = 20472.476980228m²