Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15181 / 8158
↖ ↑ ↗
← N 66.661683°
W 13.216553°		 ← 483.96 m → N 66.661683°
W 13.205566°		 →
↑
484 m
↓
↑
484 m
↓
N 66.657331°
W 13.216553°		 ← 484.05 m →
234 262 m²		 N 66.657331°
W 13.205566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463302612304688 y=0.248977661132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463302612304688 × 215)
    floor (0.463302612304688 × 32768)
    floor (15181.5)     		tx = 15181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248977661132812 × 215)
    floor (0.248977661132812 × 32768)
    floor (8158.5)     		ty = 8158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15181 / 8158 ti = "15/15181/8158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15181/8158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15181 ÷ 215
    15181 ÷ 32768     		x = 0.463287353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8158 ÷ 215
    8158 ÷ 32768     		y = 0.24896240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463287353515625 × 2 - 1) × π
    -0.07342529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23067236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24896240234375 × 2 - 1) × π
    0.5020751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.57731574509833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23067236} λ = -0.23067236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57731574509833))-π/2
    2×atan(4.84194134718752)-π/2
    2×1.36713109536844-π/2
    2.73426219073689-1.57079632675     		φ = 1.16346586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23067236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.216553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16346586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.661683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15181 KachelY 8158 -0.23067236 1.16346586 -13.216553 66.661683
    Oben rechts KachelX + 1 15182 KachelY 8158 -0.23048061 1.16346586 -13.205566 66.661683
    Unten links KachelX 15181 KachelY + 1 8159 -0.23067236 1.16338989 -13.216553 66.657331
    Unten rechts KachelX + 1 15182 KachelY + 1 8159 -0.23048061 1.16338989 -13.205566 66.657331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16346586-1.16338989) × R
    7.59700000001473e-05 × 6371000     		dl = 484.004870000939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16346586-1.16338989) × R
    7.59700000001473e-05 × 6371000     		dr = 484.004870000939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23067236--0.23048061) × cos(1.16346586) × R
    0.000191749999999991 × 0.396159626077318 × 6371000     		do = 483.964148481351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23067236--0.23048061) × cos(1.16338989) × R
    0.000191749999999991 × 0.396229379194338 × 6371000     		du = 484.049361626912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16346586)-sin(1.16338989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396159626077318-0.396229379194338)×R²
    abs(-0.23048061--0.23067236)×6.9753117019733e-05×R²
    0.000191749999999991×6.9753117019733e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.9753117019733e-05×40589641000000     		ar = 234261.626671817m²