Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15181 / 21058
↖ ↑ ↗
← S 45.598666°
W 13.216553°		 ← 854.76 m → S 45.598666°
W 13.205566°		 →
↑
854.67 m
↓
↑
854.67 m
↓
S 45.606352°
W 13.216553°		 ← 854.64 m →
730 484 m²		 S 45.606352°
W 13.205566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463302612304688 y=0.642654418945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463302612304688 × 215)
    floor (0.463302612304688 × 32768)
    floor (15181.5)     		tx = 15181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642654418945312 × 215)
    floor (0.642654418945312 × 32768)
    floor (21058.5)     		ty = 21058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15181 / 21058 ti = "15/15181/21058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15181/21058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15181 ÷ 215
    15181 ÷ 32768     		x = 0.463287353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21058 ÷ 215
    21058 ÷ 32768     		y = 0.64263916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463287353515625 × 2 - 1) × π
    -0.07342529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23067236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64263916015625 × 2 - 1) × π
    -0.2852783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.89622827529657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23067236} λ = -0.23067236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.89622827529657))-π/2
    2×atan(0.408106024120303)-π/2
    2×0.387474738004639-π/2
    0.774949476009278-1.57079632675     		φ = -0.79584685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23067236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.216553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79584685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.598666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15181 KachelY 21058 -0.23067236 -0.79584685 -13.216553 -45.598666
    Oben rechts KachelX + 1 15182 KachelY 21058 -0.23048061 -0.79584685 -13.205566 -45.598666
    Unten links KachelX 15181 KachelY + 1 21059 -0.23067236 -0.79598100 -13.216553 -45.606352
    Unten rechts KachelX + 1 15182 KachelY + 1 21059 -0.23048061 -0.79598100 -13.205566 -45.606352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79584685--0.79598100) × R
    0.000134150000000055 × 6371000     		dl = 854.669650000351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79584685--0.79598100) × R
    0.000134150000000055 × 6371000     		dr = 854.669650000351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23067236--0.23048061) × cos(-0.79584685) × R
    0.000191749999999991 × 0.69967997961314 × 6371000     		do = 854.756525534569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23067236--0.23048061) × cos(-0.79598100) × R
    0.000191749999999991 × 0.699584128993575 × 6371000     		du = 854.639430655572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79584685)-sin(-0.79598100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69967997961314-0.699584128993575)×R²
    abs(-0.23048061--0.23067236)×9.58506195644082e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58506195644082e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58506195644082e-05×40589641000000     		ar = 730484.422889886m²