Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15180 / 6626
↖ ↑ ↗
← N 72.495115°
W 13.227539°		 ← 367.45 m → N 72.495115°
W 13.216553°		 →
↑
367.48 m
↓
↑
367.48 m
↓
N 72.491810°
W 13.227539°		 ← 367.52 m →
135 044 m²		 N 72.491810°
W 13.216553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463272094726562 y=0.202224731445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463272094726562 × 215)
    floor (0.463272094726562 × 32768)
    floor (15180.5)     		tx = 15180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202224731445312 × 215)
    floor (0.202224731445312 × 32768)
    floor (6626.5)     		ty = 6626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15180 / 6626 ti = "15/15180/6626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15180/6626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15180 ÷ 215
    15180 ÷ 32768     		x = 0.4632568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6626 ÷ 215
    6626 ÷ 32768     		y = 0.20220947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4632568359375 × 2 - 1) × π
    -0.073486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23086411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20220947265625 × 2 - 1) × π
    0.5955810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.87107306597003
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23086411} λ = -0.23086411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87107306597003))-π/2
    2×atan(6.49526250623398)-π/2
    2×1.41803738292647-π/2
    2.83607476585295-1.57079632675     		φ = 1.26527844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23086411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.227539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26527844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.495115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15180 KachelY 6626 -0.23086411 1.26527844 -13.227539 72.495115
    Oben rechts KachelX + 1 15181 KachelY 6626 -0.23067236 1.26527844 -13.216553 72.495115
    Unten links KachelX 15180 KachelY + 1 6627 -0.23086411 1.26522076 -13.227539 72.491810
    Unten rechts KachelX + 1 15181 KachelY + 1 6627 -0.23067236 1.26522076 -13.216553 72.491810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26527844-1.26522076) × R
    5.76799999998379e-05 × 6371000     		dl = 367.479279998967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26527844-1.26522076) × R
    5.76799999998379e-05 × 6371000     		dr = 367.479279998967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23086411--0.23067236) × cos(1.26527844) × R
    0.000191750000000018 × 0.300787119657942 × 6371000     		do = 367.453351268624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23086411--0.23067236) × cos(1.26522076) × R
    0.000191750000000018 × 0.300842128072131 × 6371000     		du = 367.520551706477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26527844)-sin(1.26522076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300787119657942-0.300842128072131)×R²
    abs(-0.23067236--0.23086411)×5.50084141883178e-05×R²
    0.000191750000000018×5.50084141883178e-05×6371000²
    0.000191750000000018×5.50084141883178e-05×40589641000000     		ar = 135043.840379308m²