Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15180 / 10167
↖ ↑ ↗
← N 56.225031°
W 13.227539°		 ← 679.15 m → N 56.225031°
W 13.216553°		 →
↑
679.21 m
↓
↑
679.21 m
↓
N 56.218923°
W 13.227539°		 ← 679.26 m →
461 323 m²		 N 56.218923°
W 13.216553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463272094726562 y=0.310287475585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463272094726562 × 215)
    floor (0.463272094726562 × 32768)
    floor (15180.5)     		tx = 15180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310287475585938 × 215)
    floor (0.310287475585938 × 32768)
    floor (10167.5)     		ty = 10167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15180 / 10167 ti = "15/15180/10167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15180/10167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15180 ÷ 215
    15180 ÷ 32768     		x = 0.4632568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10167 ÷ 215
    10167 ÷ 32768     		y = 0.310272216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4632568359375 × 2 - 1) × π
    -0.073486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23086411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310272216796875 × 2 - 1) × π
    0.37945556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19209481975156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23086411} λ = -0.23086411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19209481975156))-π/2
    2×atan(3.29397426735969)-π/2
    2×1.27605412278712-π/2
    2.55210824557425-1.57079632675     		φ = 0.98131192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23086411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.227539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98131192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.225031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15180 KachelY 10167 -0.23086411 0.98131192 -13.227539 56.225031
    Oben rechts KachelX + 1 15181 KachelY 10167 -0.23067236 0.98131192 -13.216553 56.225031
    Unten links KachelX 15180 KachelY + 1 10168 -0.23086411 0.98120531 -13.227539 56.218923
    Unten rechts KachelX + 1 15181 KachelY + 1 10168 -0.23067236 0.98120531 -13.216553 56.218923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98131192-0.98120531) × R
    0.000106610000000007 × 6371000     		dl = 679.212310000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98131192-0.98120531) × R
    0.000106610000000007 × 6371000     		dr = 679.212310000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23086411--0.23067236) × cos(0.98131192) × R
    0.000191750000000018 × 0.555932521613287 × 6371000     		do = 679.148988754329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23086411--0.23067236) × cos(0.98120531) × R
    0.000191750000000018 × 0.556021135609577 × 6371000     		du = 679.257243090296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98131192)-sin(0.98120531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555932521613287-0.556021135609577)×R²
    abs(-0.23067236--0.23086411)×8.86139962901211e-05×R²
    0.000191750000000018×8.86139962901211e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.86139962901211e-05×40589641000000     		ar = 461323.117761415m²