Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15179 / 6595
↖ ↑ ↗
← N 72.597265°
W 13.238526°		 ← 365.38 m → N 72.597265°
W 13.227539°		 →
↑
365.38 m
↓
↑
365.38 m
↓
N 72.593980°
W 13.238526°		 ← 365.44 m →
133 512 m²		 N 72.593980°
W 13.227539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463241577148438 y=0.201278686523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463241577148438 × 215)
    floor (0.463241577148438 × 32768)
    floor (15179.5)     		tx = 15179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201278686523438 × 215)
    floor (0.201278686523438 × 32768)
    floor (6595.5)     		ty = 6595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15179 / 6595 ti = "15/15179/6595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15179/6595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15179 ÷ 215
    15179 ÷ 32768     		x = 0.463226318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6595 ÷ 215
    6595 ÷ 32768     		y = 0.201263427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463226318359375 × 2 - 1) × π
    -0.07354736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23105586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201263427734375 × 2 - 1) × π
    0.59747314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.87701724152292
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23105586} λ = -0.23105586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87701724152292))-π/2
    2×atan(6.53398646381398)-π/2
    2×1.41892881905427-π/2
    2.83785763810855-1.57079632675     		φ = 1.26706131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23105586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.238526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26706131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.597265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15179 KachelY 6595 -0.23105586 1.26706131 -13.238526 72.597265
    Oben rechts KachelX + 1 15180 KachelY 6595 -0.23086411 1.26706131 -13.227539 72.597265
    Unten links KachelX 15179 KachelY + 1 6596 -0.23105586 1.26700396 -13.238526 72.593980
    Unten rechts KachelX + 1 15180 KachelY + 1 6596 -0.23086411 1.26700396 -13.227539 72.593980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26706131-1.26700396) × R
    5.73500000000671e-05 × 6371000     		dl = 365.376850000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26706131-1.26700396) × R
    5.73500000000671e-05 × 6371000     		dr = 365.376850000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23105586--0.23086411) × cos(1.26706131) × R
    0.000191749999999991 × 0.29908633489391 × 6371000     		do = 365.375605845027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23105586--0.23086411) × cos(1.26700396) × R
    0.000191749999999991 × 0.29914105926629 × 6371000     		du = 365.442459286258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26706131)-sin(1.26700396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29908633489391-0.29914105926629)×R²
    abs(-0.23086411--0.23105586)×5.47243723806323e-05×R²
    0.000191749999999991×5.47243723806323e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.47243723806323e-05×40589641000000     		ar = 133512.001317199m²