Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15179 / 10326
↖ ↑ ↗
← N 55.241552°
W 13.238526°		 ← 696.48 m → N 55.241552°
W 13.227539°		 →
↑
696.54 m
↓
↑
696.54 m
↓
N 55.235288°
W 13.238526°		 ← 696.59 m →
485 164 m²		 N 55.235288°
W 13.227539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463241577148438 y=0.315139770507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463241577148438 × 215)
    floor (0.463241577148438 × 32768)
    floor (15179.5)     		tx = 15179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315139770507812 × 215)
    floor (0.315139770507812 × 32768)
    floor (10326.5)     		ty = 10326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15179 / 10326 ti = "15/15179/10326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15179/10326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15179 ÷ 215
    15179 ÷ 32768     		x = 0.463226318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10326 ÷ 215
    10326 ÷ 32768     		y = 0.31512451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463226318359375 × 2 - 1) × π
    -0.07354736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23105586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31512451171875 × 2 - 1) × π
    0.3697509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1616069515932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23105586} λ = -0.23105586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1616069515932))-π/2
    2×atan(3.19506346535536)-π/2
    2×1.26747164685494-π/2
    2.53494329370988-1.57079632675     		φ = 0.96414697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23105586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.238526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96414697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.241552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15179 KachelY 10326 -0.23105586 0.96414697 -13.238526 55.241552
    Oben rechts KachelX + 1 15180 KachelY 10326 -0.23086411 0.96414697 -13.227539 55.241552
    Unten links KachelX 15179 KachelY + 1 10327 -0.23105586 0.96403764 -13.238526 55.235288
    Unten rechts KachelX + 1 15180 KachelY + 1 10327 -0.23086411 0.96403764 -13.227539 55.235288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96414697-0.96403764) × R
    0.000109330000000019 × 6371000     		dl = 696.541430000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96414697-0.96403764) × R
    0.000109330000000019 × 6371000     		dr = 696.541430000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23105586--0.23086411) × cos(0.96414697) × R
    0.000191749999999991 × 0.570117901443672 × 6371000     		do = 696.478405531186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23105586--0.23086411) × cos(0.96403764) × R
    0.000191749999999991 × 0.570207719506682 × 6371000     		du = 696.588130802319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96414697)-sin(0.96403764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570117901443672-0.570207719506682)×R²
    abs(-0.23086411--0.23105586)×8.98180630103385e-05×R²
    0.000191749999999991×8.98180630103385e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.98180630103385e-05×40589641000000     		ar = 485164.279134154m²