Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15178 / 8465
↖ ↑ ↗
← N 65.288875°
W 13.249512°		 ← 510.67 m → N 65.288875°
W 13.238526°		 →
↑
510.70 m
↓
↑
510.70 m
↓
N 65.284283°
W 13.249512°		 ← 510.76 m →
260 822 m²		 N 65.284283°
W 13.238526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463211059570312 y=0.258346557617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463211059570312 × 215)
    floor (0.463211059570312 × 32768)
    floor (15178.5)     		tx = 15178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258346557617188 × 215)
    floor (0.258346557617188 × 32768)
    floor (8465.5)     		ty = 8465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15178 / 8465 ti = "15/15178/8465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15178/8465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15178 ÷ 215
    15178 ÷ 32768     		x = 0.46319580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8465 ÷ 215
    8465 ÷ 32768     		y = 0.258331298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46319580078125 × 2 - 1) × π
    -0.0736083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23124760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258331298828125 × 2 - 1) × π
    0.48333740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.5184492323649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23124760} λ = -0.23124760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5184492323649))-π/2
    2×atan(4.56514023127534)-π/2
    2×1.35515108405079-π/2
    2.71030216810157-1.57079632675     		φ = 1.13950584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23124760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.249512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13950584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.288875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15178 KachelY 8465 -0.23124760 1.13950584 -13.249512 65.288875
    Oben rechts KachelX + 1 15179 KachelY 8465 -0.23105586 1.13950584 -13.238526 65.288875
    Unten links KachelX 15178 KachelY + 1 8466 -0.23124760 1.13942568 -13.249512 65.284283
    Unten rechts KachelX + 1 15179 KachelY + 1 8466 -0.23105586 1.13942568 -13.238526 65.284283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13950584-1.13942568) × R
    8.01599999999958e-05 × 6371000     		dl = 510.699359999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13950584-1.13942568) × R
    8.01599999999958e-05 × 6371000     		dr = 510.699359999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23124760--0.23105586) × cos(1.13950584) × R
    0.000191739999999996 × 0.418043463281467 × 6371000     		do = 510.671669401517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23124760--0.23105586) × cos(1.13942568) × R
    0.000191739999999996 × 0.418116281448753 × 6371000     		du = 510.760622293541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13950584)-sin(1.13942568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418043463281467-0.418116281448753)×R²
    abs(-0.23105586--0.23124760)×7.28181672854933e-05×R²
    0.000191739999999996×7.28181672854933e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.28181672854933e-05×40589641000000     		ar = 260822.40896554m²