Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15178 / 6600
↖ ↑ ↗
← N 72.580828°
W 13.249512°		 ← 365.69 m → N 72.580828°
W 13.238526°		 →
↑
365.70 m
↓
↑
365.70 m
↓
N 72.577540°
W 13.249512°		 ← 365.76 m →
133 744 m²		 N 72.577540°
W 13.238526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463211059570312 y=0.201431274414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463211059570312 × 215)
    floor (0.463211059570312 × 32768)
    floor (15178.5)     		tx = 15178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201431274414062 × 215)
    floor (0.201431274414062 × 32768)
    floor (6600.5)     		ty = 6600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15178 / 6600 ti = "15/15178/6600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15178/6600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15178 ÷ 215
    15178 ÷ 32768     		x = 0.46319580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6600 ÷ 215
    6600 ÷ 32768     		y = 0.201416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46319580078125 × 2 - 1) × π
    -0.0736083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23124760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201416015625 × 2 - 1) × π
    0.59716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.87605850353052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23124760} λ = -0.23124760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87605850353052))-π/2
    2×atan(6.5277250847399)-π/2
    2×1.41878538073824-π/2
    2.83757076147648-1.57079632675     		φ = 1.26677443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23124760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.249512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26677443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.580828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15178 KachelY 6600 -0.23124760 1.26677443 -13.249512 72.580828
    Oben rechts KachelX + 1 15179 KachelY 6600 -0.23105586 1.26677443 -13.238526 72.580828
    Unten links KachelX 15178 KachelY + 1 6601 -0.23124760 1.26671703 -13.249512 72.577540
    Unten rechts KachelX + 1 15179 KachelY + 1 6601 -0.23105586 1.26671703 -13.238526 72.577540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26677443-1.26671703) × R
    5.73999999999852e-05 × 6371000     		dl = 365.695399999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26677443-1.26671703) × R
    5.73999999999852e-05 × 6371000     		dr = 365.695399999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23124760--0.23105586) × cos(1.26677443) × R
    0.000191739999999996 × 0.299360070953427 × 6371000     		do = 365.690940329362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23124760--0.23105586) × cos(1.26671703) × R
    0.000191739999999996 × 0.299414838108519 × 6371000     		du = 365.757842546418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26677443)-sin(1.26671703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299360070953427-0.299414838108519)×R²
    abs(-0.23105586--0.23124760)×5.47671550921169e-05×R²
    0.000191739999999996×5.47671550921169e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.47671550921169e-05×40589641000000     		ar = 133743.72765314m²