Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15178 / 6598
↖ ↑ ↗
← N 72.587405°
W 13.249512°		 ← 365.56 m → N 72.587405°
W 13.238526°		 →
↑
365.63 m
↓
↑
365.63 m
↓
N 72.584117°
W 13.249512°		 ← 365.62 m →
133 672 m²		 N 72.584117°
W 13.238526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463211059570312 y=0.201370239257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463211059570312 × 215)
    floor (0.463211059570312 × 32768)
    floor (15178.5)     		tx = 15178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201370239257812 × 215)
    floor (0.201370239257812 × 32768)
    floor (6598.5)     		ty = 6598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15178 / 6598 ti = "15/15178/6598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15178/6598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15178 ÷ 215
    15178 ÷ 32768     		x = 0.46319580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6598 ÷ 215
    6598 ÷ 32768     		y = 0.20135498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46319580078125 × 2 - 1) × π
    -0.0736083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23124760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20135498046875 × 2 - 1) × π
    0.5972900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.87644199872748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23124760} λ = -0.23124760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87644199872748))-π/2
    2×atan(6.53022891602993)-π/2
    2×1.41884277181137-π/2
    2.83768554362274-1.57079632675     		φ = 1.26688922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23124760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.249512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26688922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.587405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15178 KachelY 6598 -0.23124760 1.26688922 -13.249512 72.587405
    Oben rechts KachelX + 1 15179 KachelY 6598 -0.23105586 1.26688922 -13.238526 72.587405
    Unten links KachelX 15178 KachelY + 1 6599 -0.23124760 1.26683183 -13.249512 72.584117
    Unten rechts KachelX + 1 15179 KachelY + 1 6599 -0.23105586 1.26683183 -13.238526 72.584117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26688922-1.26683183) × R
    5.7389999999824e-05 × 6371000     		dl = 365.631689998879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26688922-1.26683183) × R
    5.7389999999824e-05 × 6371000     		dr = 365.631689998879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23124760--0.23105586) × cos(1.26688922) × R
    0.000191739999999996 × 0.29925054322621 × 6371000     		do = 365.557143936843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23124760--0.23105586) × cos(1.26683183) × R
    0.000191739999999996 × 0.299305302812015 × 6371000     		du = 365.624036907442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26688922)-sin(1.26683183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29925054322621-0.299305302812015)×R²
    abs(-0.23105586--0.23124760)×5.47595858049199e-05×R²
    0.000191739999999996×5.47595858049199e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.47595858049199e-05×40589641000000     		ar = 133671.505460111m²