Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15177 / 10050
↖ ↑ ↗
← N 56.932987°
W 13.260498°		 ← 666.55 m → N 56.932987°
W 13.249512°		 →
↑
666.60 m
↓
↑
666.60 m
↓
N 56.926992°
W 13.260498°		 ← 666.66 m →
444 357 m²		 N 56.926992°
W 13.249512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463180541992188 y=0.306716918945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463180541992188 × 215)
    floor (0.463180541992188 × 32768)
    floor (15177.5)     		tx = 15177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306716918945312 × 215)
    floor (0.306716918945312 × 32768)
    floor (10050.5)     		ty = 10050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15177 / 10050 ti = "15/15177/10050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15177/10050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15177 ÷ 215
    15177 ÷ 32768     		x = 0.463165283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10050 ÷ 215
    10050 ÷ 32768     		y = 0.30670166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463165283203125 × 2 - 1) × π
    -0.07366943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23143935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30670166015625 × 2 - 1) × π
    0.3865966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21452928877374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23143935} λ = -0.23143935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21452928877374))-π/2
    2×atan(3.36870800238761)-π/2
    2×1.28223220491714-π/2
    2.56446440983428-1.57079632675     		φ = 0.99366808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23143935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.260498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99366808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.932987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15177 KachelY 10050 -0.23143935 0.99366808 -13.260498 56.932987
    Oben rechts KachelX + 1 15178 KachelY 10050 -0.23124760 0.99366808 -13.249512 56.932987
    Unten links KachelX 15177 KachelY + 1 10051 -0.23143935 0.99356345 -13.260498 56.926992
    Unten rechts KachelX + 1 15178 KachelY + 1 10051 -0.23124760 0.99356345 -13.249512 56.926992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99366808-0.99356345) × R
    0.000104629999999939 × 6371000     		dl = 666.597729999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99366808-0.99356345) × R
    0.000104629999999939 × 6371000     		dr = 666.597729999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23143935--0.23124760) × cos(0.99366808) × R
    0.000191749999999991 × 0.545619566031759 × 6371000     		do = 666.55027743233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23143935--0.23124760) × cos(0.99356345) × R
    0.000191749999999991 × 0.545707246436577 × 6371000     		du = 666.657391256312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99366808)-sin(0.99356345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545619566031759-0.545707246436577)×R²
    abs(-0.23124760--0.23143935)×8.76804048182134e-05×R²
    0.000191749999999991×8.76804048182134e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.76804048182134e-05×40589641000000     		ar = 444356.603188107m²