Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15176 / 8464
↖ ↑ ↗
← N 65.293468°
W 13.271484°		 ← 510.61 m → N 65.293468°
W 13.260498°		 →
↑
510.64 m
↓
↑
510.64 m
↓
N 65.288875°
W 13.271484°		 ← 510.70 m →
260 758 m²		 N 65.288875°
W 13.260498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463150024414062 y=0.258316040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463150024414062 × 215)
    floor (0.463150024414062 × 32768)
    floor (15176.5)     		tx = 15176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258316040039062 × 215)
    floor (0.258316040039062 × 32768)
    floor (8464.5)     		ty = 8464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15176 / 8464 ti = "15/15176/8464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15176/8464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15176 ÷ 215
    15176 ÷ 32768     		x = 0.463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8464 ÷ 215
    8464 ÷ 32768     		y = 0.25830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.07373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23163110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25830078125 × 2 - 1) × π
    0.4833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51864097996338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23163110} λ = -0.23163110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51864097996338))-π/2
    2×atan(4.56601566988036)-π/2
    2×1.35519115997521-π/2
    2.71038231995043-1.57079632675     		φ = 1.13958599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23163110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.271484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13958599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.293468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15176 KachelY 8464 -0.23163110 1.13958599 -13.271484 65.293468
    Oben rechts KachelX + 1 15177 KachelY 8464 -0.23143935 1.13958599 -13.260498 65.293468
    Unten links KachelX 15176 KachelY + 1 8465 -0.23163110 1.13950584 -13.271484 65.288875
    Unten rechts KachelX + 1 15177 KachelY + 1 8465 -0.23143935 1.13950584 -13.260498 65.288875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13958599-1.13950584) × R
    8.01500000000566e-05 × 6371000     		dl = 510.63565000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13958599-1.13950584) × R
    8.01500000000566e-05 × 6371000     		dr = 510.63565000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23163110--0.23143935) × cos(1.13958599) × R
    0.000191750000000018 × 0.417970651512596 × 6371000     		do = 510.609353235908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23163110--0.23143935) × cos(1.13950584) × R
    0.000191750000000018 × 0.418043463281467 × 6371000     		du = 510.698302950623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13958599)-sin(1.13950584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417970651512596-0.418043463281467)×R²
    abs(-0.23143935--0.23163110)×7.28117688710284e-05×R²
    0.000191750000000018×7.28117688710284e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.28117688710284e-05×40589641000000     		ar = 260758.049573012m²