Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15176 / 10309
↖ ↑ ↗
← N 55.347889°
W 13.271484°		 ← 694.61 m → N 55.347889°
W 13.260498°		 →
↑
694.69 m
↓
↑
694.69 m
↓
N 55.341642°
W 13.271484°		 ← 694.72 m →
482 582 m²		 N 55.341642°
W 13.260498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463150024414062 y=0.314620971679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463150024414062 × 215)
    floor (0.463150024414062 × 32768)
    floor (15176.5)     		tx = 15176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314620971679688 × 215)
    floor (0.314620971679688 × 32768)
    floor (10309.5)     		ty = 10309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15176 / 10309 ti = "15/15176/10309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15176/10309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15176 ÷ 215
    15176 ÷ 32768     		x = 0.463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10309 ÷ 215
    10309 ÷ 32768     		y = 0.314605712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.07373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23163110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314605712890625 × 2 - 1) × π
    0.37078857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16486666076736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23163110} λ = -0.23163110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16486666076736))-π/2
    2×atan(3.20549543640403)-π/2
    2×1.26839961247552-π/2
    2.53679922495104-1.57079632675     		φ = 0.96600290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23163110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.271484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96600290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.347889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15176 KachelY 10309 -0.23163110 0.96600290 -13.271484 55.347889
    Oben rechts KachelX + 1 15177 KachelY 10309 -0.23143935 0.96600290 -13.260498 55.347889
    Unten links KachelX 15176 KachelY + 1 10310 -0.23163110 0.96589386 -13.271484 55.341642
    Unten rechts KachelX + 1 15177 KachelY + 1 10310 -0.23143935 0.96589386 -13.260498 55.341642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96600290-0.96589386) × R
    0.000109040000000005 × 6371000     		dl = 694.69384000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96600290-0.96589386) × R
    0.000109040000000005 × 6371000     		dr = 694.69384000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23163110--0.23143935) × cos(0.96600290) × R
    0.000191750000000018 × 0.56859215723035 × 6371000     		do = 694.614496514833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23163110--0.23143935) × cos(0.96589386) × R
    0.000191750000000018 × 0.568681852288002 × 6371000     		du = 694.724071517792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96600290)-sin(0.96589386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56859215723035-0.568681852288002)×R²
    abs(-0.23143935--0.23163110)×8.96950576523281e-05×R²
    0.000191750000000018×8.96950576523281e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.96950576523281e-05×40589641000000     		ar = 482582.472921114m²