Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15175 / 14039
↖ ↑ ↗
← N 24.936257°
W 13.282471°		 ← 1 107.75 m → N 24.936257°
W 13.271484°		 →
↑
1 107.79 m
↓
↑
1 107.79 m
↓
N 24.926295°
W 13.282471°		 ← 1 107.84 m →
1 227 209 m²		 N 24.926295°
W 13.271484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463119506835938 y=0.428451538085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463119506835938 × 215)
    floor (0.463119506835938 × 32768)
    floor (15175.5)     		tx = 15175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428451538085938 × 215)
    floor (0.428451538085938 × 32768)
    floor (14039.5)     		ty = 14039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15175 / 14039 ti = "15/15175/14039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15175/14039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15175 ÷ 215
    15175 ÷ 32768     		x = 0.463104248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14039 ÷ 215
    14039 ÷ 32768     		y = 0.428436279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463104248046875 × 2 - 1) × π
    -0.07379150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23182285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428436279296875 × 2 - 1) × π
    0.14312744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.449648118436127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23182285} λ = -0.23182285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449648118436127))-π/2
    2×atan(1.56776042242901)-π/2
    2×1.0030080600976-π/2
    2.00601612019521-1.57079632675     		φ = 0.43521979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23182285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.282471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43521979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.936257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15175 KachelY 14039 -0.23182285 0.43521979 -13.282471 24.936257
    Oben rechts KachelX + 1 15176 KachelY 14039 -0.23163110 0.43521979 -13.271484 24.936257
    Unten links KachelX 15175 KachelY + 1 14040 -0.23182285 0.43504591 -13.282471 24.926295
    Unten rechts KachelX + 1 15176 KachelY + 1 14040 -0.23163110 0.43504591 -13.271484 24.926295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43521979-0.43504591) × R
    0.000173880000000015 × 6371000     		dl = 1107.7894800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43521979-0.43504591) × R
    0.000173880000000015 × 6371000     		dr = 1107.7894800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23182285--0.23163110) × cos(0.43521979) × R
    0.000191749999999991 × 0.906777398603588 × 6371000     		do = 1107.75486114698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23182285--0.23163110) × cos(0.43504591) × R
    0.000191749999999991 × 0.906850694392099 × 6371000     		du = 1107.84440215909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43521979)-sin(0.43504591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906777398603588-0.906850694392099)×R²
    abs(-0.23163110--0.23182285)×7.32957885105634e-05×R²
    0.000191749999999991×7.32957885105634e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.32957885105634e-05×40589641000000     		ar = 1227208.78098531m²