Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15174 / 6590
↖ ↑ ↗
← N 72.613688°
W 13.293457°		 ← 365.02 m → N 72.613688°
W 13.282471°		 →
↑
365.12 m
↓
↑
365.12 m
↓
N 72.610404°
W 13.293457°		 ← 365.09 m →
133 290 m²		 N 72.610404°
W 13.282471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463088989257812 y=0.201126098632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463088989257812 × 215)
    floor (0.463088989257812 × 32768)
    floor (15174.5)     		tx = 15174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201126098632812 × 215)
    floor (0.201126098632812 × 32768)
    floor (6590.5)     		ty = 6590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15174 / 6590 ti = "15/15174/6590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15174/6590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15174 ÷ 215
    15174 ÷ 32768     		x = 0.46307373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6590 ÷ 215
    6590 ÷ 32768     		y = 0.20111083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46307373046875 × 2 - 1) × π
    -0.0738525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23201459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20111083984375 × 2 - 1) × π
    0.5977783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.87797597951532
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23201459} λ = -0.23201459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87797597951532))-π/2
    2×atan(6.54025384878865)-π/2
    2×1.41907212620538-π/2
    2.83814425241076-1.57079632675     		φ = 1.26734793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23201459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.293457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26734793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.613688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15174 KachelY 6590 -0.23201459 1.26734793 -13.293457 72.613688
    Oben rechts KachelX + 1 15175 KachelY 6590 -0.23182285 1.26734793 -13.282471 72.613688
    Unten links KachelX 15174 KachelY + 1 6591 -0.23201459 1.26729062 -13.293457 72.610404
    Unten rechts KachelX + 1 15175 KachelY + 1 6591 -0.23182285 1.26729062 -13.282471 72.610404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26734793-1.26729062) × R
    5.73099999998661e-05 × 6371000     		dl = 365.122009999147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26734793-1.26729062) × R
    5.73099999998661e-05 × 6371000     		dr = 365.122009999147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23201459--0.23182285) × cos(1.26734793) × R
    0.000191739999999996 × 0.29881282234061 × 6371000     		do = 365.022434809647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23201459--0.23182285) × cos(1.26729062) × R
    0.000191739999999996 × 0.298867513455687 × 6371000     		du = 365.08924413808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26734793)-sin(1.26729062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29881282234061-0.298867513455687)×R²
    abs(-0.23182285--0.23201459)×5.46911150766105e-05×R²
    0.000191739999999996×5.46911150766105e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.46911150766105e-05×40589641000000     		ar = 133289.921906667m²