Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15174 / 20665
↖ ↑ ↗
← S 42.496403°
W 13.293457°		 ← 900.69 m → S 42.496403°
W 13.282471°		 →
↑
900.67 m
↓
↑
900.67 m
↓
S 42.504503°
W 13.293457°		 ← 900.58 m →
811 172 m²		 S 42.504503°
W 13.282471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463088989257812 y=0.630661010742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463088989257812 × 215)
    floor (0.463088989257812 × 32768)
    floor (15174.5)     		tx = 15174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630661010742188 × 215)
    floor (0.630661010742188 × 32768)
    floor (20665.5)     		ty = 20665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15174 / 20665 ti = "15/15174/20665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15174/20665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15174 ÷ 215
    15174 ÷ 32768     		x = 0.46307373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20665 ÷ 215
    20665 ÷ 32768     		y = 0.630645751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46307373046875 × 2 - 1) × π
    -0.0738525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23201459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630645751953125 × 2 - 1) × π
    -0.26129150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.820871469093842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23201459} λ = -0.23201459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820871469093842))-π/2
    2×atan(0.440047999127331)-π/2
    2×0.414547087619321-π/2
    0.829094175238643-1.57079632675     		φ = -0.74170215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23201459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.293457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74170215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.496403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15174 KachelY 20665 -0.23201459 -0.74170215 -13.293457 -42.496403
    Oben rechts KachelX + 1 15175 KachelY 20665 -0.23182285 -0.74170215 -13.282471 -42.496403
    Unten links KachelX 15174 KachelY + 1 20666 -0.23201459 -0.74184352 -13.293457 -42.504503
    Unten rechts KachelX + 1 15175 KachelY + 1 20666 -0.23182285 -0.74184352 -13.282471 -42.504503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74170215--0.74184352) × R
    0.00014137000000003 × 6371000     		dl = 900.668270000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74170215--0.74184352) × R
    0.00014137000000003 × 6371000     		dr = 900.668270000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23201459--0.23182285) × cos(-0.74170215) × R
    0.000191739999999996 × 0.737319750327418 × 6371000     		do = 900.691772158862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23201459--0.23182285) × cos(-0.74184352) × R
    0.000191739999999996 × 0.73722424131614 × 6371000     		du = 900.575100686834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74170215)-sin(-0.74184352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737319750327418-0.73722424131614)×R²
    abs(-0.23182285--0.23201459)×9.55090112789714e-05×R²
    0.000191739999999996×9.55090112789714e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.55090112789714e-05×40589641000000     		ar = 811171.960438737m²