Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15173 / 10053
↖ ↑ ↗
← N 56.915000°
W 13.304443°		 ← 666.87 m → N 56.915000°
W 13.293457°		 →
↑
666.92 m
↓
↑
666.92 m
↓
N 56.909002°
W 13.304443°		 ← 666.98 m →
444 783 m²		 N 56.909002°
W 13.293457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463058471679688 y=0.306808471679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463058471679688 × 215)
    floor (0.463058471679688 × 32768)
    floor (15173.5)     		tx = 15173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306808471679688 × 215)
    floor (0.306808471679688 × 32768)
    floor (10053.5)     		ty = 10053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15173 / 10053 ti = "15/15173/10053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15173/10053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15173 ÷ 215
    15173 ÷ 32768     		x = 0.463043212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10053 ÷ 215
    10053 ÷ 32768     		y = 0.306793212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463043212890625 × 2 - 1) × π
    -0.07391357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23220634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306793212890625 × 2 - 1) × π
    0.38641357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2139540459783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23220634} λ = -0.23220634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2139540459783))-π/2
    2×atan(3.36677073463237)-π/2
    2×1.2820752352259-π/2
    2.56415047045181-1.57079632675     		φ = 0.99335414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23220634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.304443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99335414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.915000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15173 KachelY 10053 -0.23220634 0.99335414 -13.304443 56.915000
    Oben rechts KachelX + 1 15174 KachelY 10053 -0.23201459 0.99335414 -13.293457 56.915000
    Unten links KachelX 15173 KachelY + 1 10054 -0.23220634 0.99324946 -13.304443 56.909002
    Unten rechts KachelX + 1 15174 KachelY + 1 10054 -0.23201459 0.99324946 -13.293457 56.909002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99335414-0.99324946) × R
    0.000104679999999968 × 6371000     		dl = 666.916279999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99335414-0.99324946) × R
    0.000104679999999968 × 6371000     		dr = 666.916279999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23220634--0.23201459) × cos(0.99335414) × R
    0.000191750000000018 × 0.54588263121605 × 6371000     		do = 666.871648186866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23220634--0.23201459) × cos(0.99324946) × R
    0.000191750000000018 × 0.545970335583072 × 6371000     		du = 666.978791284016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99335414)-sin(0.99324946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54588263121605-0.545970335583072)×R²
    abs(-0.23201459--0.23220634)×8.77043670219901e-05×R²
    0.000191750000000018×8.77043670219901e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.77043670219901e-05×40589641000000     		ar = 444783.286990721m²