Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15172 / 17092
↖ ↑ ↗
← N 78.799846°
W138.328857°		 ← 59.31 m → N 78.799846°
W138.326111°		 →
↑
59.31 m
↓
↑
59.31 m
↓
N 78.799313°
W138.328857°		 ← 59.32 m →
3 518 m²		 N 78.799313°
W138.326111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.115756988525391 y=0.130405426025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.115756988525391 × 217)
    floor (0.115756988525391 × 131072)
    floor (15172.5)     		tx = 15172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130405426025391 × 217)
    floor (0.130405426025391 × 131072)
    floor (17092.5)     		ty = 17092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15172 / 17092 ti = "17/15172/17092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15172/17092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15172 ÷ 217
    15172 ÷ 131072     		x = 0.115753173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17092 ÷ 217
    17092 ÷ 131072     		y = 0.130401611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.115753173828125 × 2 - 1) × π
    -0.76849365234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.41429401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130401611328125 × 2 - 1) × π
    0.73919677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.322255165194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.41429401} λ = -2.41429401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.322255165194))-π/2
    2×atan(10.1986480276259)-π/2
    2×1.47305654672207-π/2
    2.94611309344413-1.57079632675     		φ = 1.37531677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.41429401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.328857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37531677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.799846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15172 KachelY 17092 -2.41429401 1.37531677 -138.328857 78.799846
    Oben rechts KachelX + 1 15173 KachelY 17092 -2.41424608 1.37531677 -138.326111 78.799846
    Unten links KachelX 15172 KachelY + 1 17093 -2.41429401 1.37530746 -138.328857 78.799313
    Unten rechts KachelX + 1 15173 KachelY + 1 17093 -2.41424608 1.37530746 -138.326111 78.799313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37531677-1.37530746) × R
    9.31000000004012e-06 × 6371000     		dl = 59.3140100002556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37531677-1.37530746) × R
    9.31000000004012e-06 × 6371000     		dr = 59.3140100002556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.41429401--2.41424608) × cos(1.37531677) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.194236980739737 × 6371000     		do = 59.3125987397934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.41429401--2.41424608) × cos(1.37530746) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.194246113418968 × 6371000     		du = 59.3153875132628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37531677)-sin(1.37530746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194236980739737-0.194246113418968)×R²
    abs(-2.41424608--2.41429401)×9.13267923097205e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.13267923097205e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.13267923097205e-06×40589641000000     		ar = 3518.15078156674m²