Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15171 / 17093
↖ ↑ ↗
← N 78.799313°
W138.331604°		 ← 59.33 m → N 78.799313°
W138.328857°		 →
↑
59.38 m
↓
↑
59.38 m
↓
N 78.798779°
W138.331604°		 ← 59.33 m →
3 523 m²		 N 78.798779°
W138.328857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.115749359130859 y=0.130413055419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.115749359130859 × 217)
    floor (0.115749359130859 × 131072)
    floor (15171.5)     		tx = 15171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130413055419922 × 217)
    floor (0.130413055419922 × 131072)
    floor (17093.5)     		ty = 17093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15171 / 17093 ti = "17/15171/17093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15171/17093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15171 ÷ 217
    15171 ÷ 131072     		x = 0.115745544433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17093 ÷ 217
    17093 ÷ 131072     		y = 0.130409240722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.115745544433594 × 2 - 1) × π
    -0.768508911132812 × 3.1415926535     		Λ = -2.41434195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130409240722656 × 2 - 1) × π
    0.739181518554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.32220722829438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.41434195} λ = -2.41434195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32220722829438))-π/2
    2×atan(10.1981591477769)-π/2
    2×1.4730518910532-π/2
    2.9461037821064-1.57079632675     		φ = 1.37530746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.41434195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.331604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37530746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.799313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15171 KachelY 17093 -2.41434195 1.37530746 -138.331604 78.799313
    Oben rechts KachelX + 1 15172 KachelY 17093 -2.41429401 1.37530746 -138.328857 78.799313
    Unten links KachelX 15171 KachelY + 1 17094 -2.41434195 1.37529814 -138.331604 78.798779
    Unten rechts KachelX + 1 15172 KachelY + 1 17094 -2.41429401 1.37529814 -138.328857 78.798779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37530746-1.37529814) × R
    9.31999999997934e-06 × 6371000     		dl = 59.3777199998684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37530746-1.37529814) × R
    9.31999999997934e-06 × 6371000     		dr = 59.3777199998684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.41434195--2.41429401) × cos(1.37530746) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194246113418968 × 6371000     		do = 59.3277629330735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.41434195--2.41429401) × cos(1.37529814) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194255255890873 × 6371000     		du = 59.3305552793204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37530746)-sin(1.37529814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194246113418968-0.194255255890873)×R²
    abs(-2.41429401--2.41434195)×9.14247190461626e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.14247190461626e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.14247190461626e-06×40589641000000     		ar = 3522.83019733638m²