Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15170 / 21037
↖ ↑ ↗
← S 45.437008°
W 13.337402°		 ← 857.17 m → S 45.437008°
W 13.326416°		 →
↑
857.15 m
↓
↑
857.15 m
↓
S 45.444717°
W 13.337402°		 ← 857.05 m →
734 678 m²		 S 45.444717°
W 13.326416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462966918945312 y=0.642013549804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462966918945312 × 215)
    floor (0.462966918945312 × 32768)
    floor (15170.5)     		tx = 15170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642013549804688 × 215)
    floor (0.642013549804688 × 32768)
    floor (21037.5)     		ty = 21037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15170 / 21037 ti = "15/15170/21037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15170/21037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15170 ÷ 215
    15170 ÷ 32768     		x = 0.46295166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21037 ÷ 215
    21037 ÷ 32768     		y = 0.641998291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46295166015625 × 2 - 1) × π
    -0.0740966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23278158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641998291015625 × 2 - 1) × π
    -0.28399658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.892201575728485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23278158} λ = -0.23278158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892201575728485))-π/2
    2×atan(0.409752657495393)-π/2
    2×0.388885464959738-π/2
    0.777770929919477-1.57079632675     		φ = -0.79302540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23278158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.337402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79302540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.437008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15170 KachelY 21037 -0.23278158 -0.79302540 -13.337402 -45.437008
    Oben rechts KachelX + 1 15171 KachelY 21037 -0.23258984 -0.79302540 -13.326416 -45.437008
    Unten links KachelX 15170 KachelY + 1 21038 -0.23278158 -0.79315994 -13.337402 -45.444717
    Unten rechts KachelX + 1 15171 KachelY + 1 21038 -0.23258984 -0.79315994 -13.326416 -45.444717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79302540--0.79315994) × R
    0.000134540000000016 × 6371000     		dl = 857.154340000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79302540--0.79315994) × R
    0.000134540000000016 × 6371000     		dr = 857.154340000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23278158--0.23258984) × cos(-0.79302540) × R
    0.000191739999999996 × 0.701692994978812 × 6371000     		do = 857.170999255441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23278158--0.23258984) × cos(-0.79315994) × R
    0.000191739999999996 × 0.701597131645665 × 6371000     		du = 857.053894952485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79302540)-sin(-0.79315994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701692994978812-0.701597131645665)×R²
    abs(-0.23258984--0.23278158)×9.58633331473724e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58633331473724e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58633331473724e-05×40589641000000     		ar = 734677.655011413m²