Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15169 / 6718
↖ ↑ ↗
← N 72.188526°
W 13.348389°		 ← 373.68 m → N 72.188526°
W 13.337402°		 →
↑
373.72 m
↓
↑
373.72 m
↓
N 72.185165°
W 13.348389°		 ← 373.75 m →
139 666 m²		 N 72.185165°
W 13.337402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462936401367188 y=0.205032348632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462936401367188 × 215)
    floor (0.462936401367188 × 32768)
    floor (15169.5)     		tx = 15169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205032348632812 × 215)
    floor (0.205032348632812 × 32768)
    floor (6718.5)     		ty = 6718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15169 / 6718 ti = "15/15169/6718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15169/6718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15169 ÷ 215
    15169 ÷ 32768     		x = 0.462921142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6718 ÷ 215
    6718 ÷ 32768     		y = 0.20501708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462921142578125 × 2 - 1) × π
    -0.07415771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23297333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20501708984375 × 2 - 1) × π
    0.5899658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.85343228690985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23297333} λ = -0.23297333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85343228690985))-π/2
    2×atan(6.38168575201835)-π/2
    2×1.41536189304085-π/2
    2.8307237860817-1.57079632675     		φ = 1.25992746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23297333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.348389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25992746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.188526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15169 KachelY 6718 -0.23297333 1.25992746 -13.348389 72.188526
    Oben rechts KachelX + 1 15170 KachelY 6718 -0.23278158 1.25992746 -13.337402 72.188526
    Unten links KachelX 15169 KachelY + 1 6719 -0.23297333 1.25986880 -13.348389 72.185165
    Unten rechts KachelX + 1 15170 KachelY + 1 6719 -0.23278158 1.25986880 -13.337402 72.185165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25992746-1.25986880) × R
    5.86600000000992e-05 × 6371000     		dl = 373.722860000632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25992746-1.25986880) × R
    5.86600000000992e-05 × 6371000     		dr = 373.722860000632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23297333--0.23278158) × cos(1.25992746) × R
    0.000191750000000018 × 0.305885972206995 × 6371000     		do = 373.68230967251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23297333--0.23278158) × cos(1.25986880) × R
    0.000191750000000018 × 0.305941819998667 × 6371000     		du = 373.750535526842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25992746)-sin(1.25986880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305885972206995-0.305941819998667)×R²
    abs(-0.23278158--0.23297333)×5.58477916717259e-05×R²
    0.000191750000000018×5.58477916717259e-05×6371000²
    0.000191750000000018×5.58477916717259e-05×40589641000000     		ar = 139666.370322866m²