Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15169 / 21040
↖ ↑ ↗
← S 45.460131°
W 13.348389°		 ← 856.86 m → S 45.460131°
W 13.337402°		 →
↑
856.77 m
↓
↑
856.77 m
↓
S 45.467836°
W 13.348389°		 ← 856.75 m →
734 087 m²		 S 45.467836°
W 13.337402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462936401367188 y=0.642105102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462936401367188 × 215)
    floor (0.462936401367188 × 32768)
    floor (15169.5)     		tx = 15169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642105102539062 × 215)
    floor (0.642105102539062 × 32768)
    floor (21040.5)     		ty = 21040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15169 / 21040 ti = "15/15169/21040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15169/21040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15169 ÷ 215
    15169 ÷ 32768     		x = 0.462921142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21040 ÷ 215
    21040 ÷ 32768     		y = 0.64208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462921142578125 × 2 - 1) × π
    -0.07415771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23297333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64208984375 × 2 - 1) × π
    -0.2841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.892776818523926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23297333} λ = -0.23297333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892776818523926))-π/2
    2×atan(0.409517018012711)-π/2
    2×0.388683684397162-π/2
    0.777367368794323-1.57079632675     		φ = -0.79342896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23297333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.348389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79342896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.460131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15169 KachelY 21040 -0.23297333 -0.79342896 -13.348389 -45.460131
    Oben rechts KachelX + 1 15170 KachelY 21040 -0.23278158 -0.79342896 -13.337402 -45.460131
    Unten links KachelX 15169 KachelY + 1 21041 -0.23297333 -0.79356344 -13.348389 -45.467836
    Unten rechts KachelX + 1 15170 KachelY + 1 21041 -0.23278158 -0.79356344 -13.337402 -45.467836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79342896--0.79356344) × R
    0.000134480000000048 × 6371000     		dl = 856.772080000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79342896--0.79356344) × R
    0.000134480000000048 × 6371000     		dr = 856.772080000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23297333--0.23278158) × cos(-0.79342896) × R
    0.000191750000000018 × 0.701405409648006 × 6371000     		do = 856.864378588415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23297333--0.23278158) × cos(-0.79356344) × R
    0.000191750000000018 × 0.701309550998287 × 6371000     		du = 856.747273899466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79342896)-sin(-0.79356344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701405409648006-0.701309550998287)×R²
    abs(-0.23278158--0.23297333)×9.58586497192826e-05×R²
    0.000191750000000018×9.58586497192826e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.58586497192826e-05×40589641000000     		ar = 734087.311013675m²