Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15169 / 10298
↖ ↑ ↗
← N 55.416544°
W 13.348389°		 ← 693.41 m → N 55.416544°
W 13.337402°		 →
↑
693.48 m
↓
↑
693.48 m
↓
N 55.410307°
W 13.348389°		 ← 693.52 m →
480 906 m²		 N 55.410307°
W 13.337402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462936401367188 y=0.314285278320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462936401367188 × 215)
    floor (0.462936401367188 × 32768)
    floor (15169.5)     		tx = 15169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314285278320312 × 215)
    floor (0.314285278320312 × 32768)
    floor (10298.5)     		ty = 10298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15169 / 10298 ti = "15/15169/10298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15169/10298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15169 ÷ 215
    15169 ÷ 32768     		x = 0.462921142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10298 ÷ 215
    10298 ÷ 32768     		y = 0.31427001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462921142578125 × 2 - 1) × π
    -0.07415771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23297333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31427001953125 × 2 - 1) × π
    0.3714599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.16697588435065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23297333} λ = -0.23297333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16697588435065))-π/2
    2×atan(3.21226367833312)-π/2
    2×1.26899873641035-π/2
    2.53799747282071-1.57079632675     		φ = 0.96720115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23297333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.348389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96720115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.416544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15169 KachelY 10298 -0.23297333 0.96720115 -13.348389 55.416544
    Oben rechts KachelX + 1 15170 KachelY 10298 -0.23278158 0.96720115 -13.337402 55.416544
    Unten links KachelX 15169 KachelY + 1 10299 -0.23297333 0.96709230 -13.348389 55.410307
    Unten rechts KachelX + 1 15170 KachelY + 1 10299 -0.23278158 0.96709230 -13.337402 55.410307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96720115-0.96709230) × R
    0.000108849999999938 × 6371000     		dl = 693.483349999606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96720115-0.96709230) × R
    0.000108849999999938 × 6371000     		dr = 693.483349999606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23297333--0.23278158) × cos(0.96720115) × R
    0.000191750000000018 × 0.567606045372042 × 6371000     		do = 693.409823563833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23297333--0.23278158) × cos(0.96709230) × R
    0.000191750000000018 × 0.567695658246486 × 6371000     		du = 693.519298168559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96720115)-sin(0.96709230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567606045372042-0.567695658246486)×R²
    abs(-0.23278158--0.23297333)×8.96128744438673e-05×R²
    0.000191750000000018×8.96128744438673e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.96128744438673e-05×40589641000000     		ar = 480906.127250269m²