Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15168 / 14016
↖ ↑ ↗
← N 25.165173°
W 13.359375°		 ← 1 105.69 m → N 25.165173°
W 13.348389°		 →
↑
1 105.69 m
↓
↑
1 105.69 m
↓
N 25.155230°
W 13.359375°		 ← 1 105.78 m →
1 222 595 m²		 N 25.155230°
W 13.348389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462905883789062 y=0.427749633789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462905883789062 × 215)
    floor (0.462905883789062 × 32768)
    floor (15168.5)     		tx = 15168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427749633789062 × 215)
    floor (0.427749633789062 × 32768)
    floor (14016.5)     		ty = 14016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15168 / 14016 ti = "15/15168/14016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15168/14016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15168 ÷ 215
    15168 ÷ 32768     		x = 0.462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14016 ÷ 215
    14016 ÷ 32768     		y = 0.427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462890625 × 2 - 1) × π
    -0.07421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23316508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427734375 × 2 - 1) × π
    0.14453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.454058313201172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23316508} λ = -0.23316508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454058313201172))-π/2
    2×atan(1.57468982000202)-π/2
    2×1.00500572945076-π/2
    2.01001145890153-1.57079632675     		φ = 0.43921513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23316508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43921513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.165173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15168 KachelY 14016 -0.23316508 0.43921513 -13.359375 25.165173
    Oben rechts KachelX + 1 15169 KachelY 14016 -0.23297333 0.43921513 -13.348389 25.165173
    Unten links KachelX 15168 KachelY + 1 14017 -0.23316508 0.43904158 -13.359375 25.155230
    Unten rechts KachelX + 1 15169 KachelY + 1 14017 -0.23297333 0.43904158 -13.348389 25.155230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43921513-0.43904158) × R
    0.000173550000000022 × 6371000     		dl = 1105.68705000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43921513-0.43904158) × R
    0.000173550000000022 × 6371000     		dr = 1105.68705000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23316508--0.23297333) × cos(0.43921513) × R
    0.000191749999999991 × 0.905085691620626 × 6371000     		do = 1105.6882054971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23316508--0.23297333) × cos(0.43904158) × R
    0.000191749999999991 × 0.905159476521238 × 6371000     		du = 1105.77834402774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43921513)-sin(0.43904158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905085691620626-0.905159476521238)×R²
    abs(-0.23297333--0.23316508)×7.37849006114955e-05×R²
    0.000191749999999991×7.37849006114955e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.37849006114955e-05×40589641000000     		ar = 1222594.96572776m²